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Topologie. I: Espaces métrisables, espaces complets. (French) JFM 59.0563.02

Monografie Matematyczne 3. Warszawa: Seminarium Matematyczne Uniwersytetu Warszawskiego; Warszawa: Instytut Matematyczny PAN. X + 285 p. (1933).
Das auf zwei Bände berechnete Werk, dessen erster Band hier vorliegt, behandelt die Topologie von rein mengentheoretischem Standpunkt. Von vornherein scheiden daher diejenigen Gegenstände aus, die in ihren Grundgedanken kombinatorischer Art sind, auch wenn sie zu weit über den kombinatorischen Rahmen hinausgehenden allgemeinen Ergebnissen geführt haben, - Dinge also, die zum klassischen Bestande der Topologie gehören, wie z. B. die Homologieklassengruppen, die Topologie der Mannigfaltigkeiten, die Brouwersche Theorie des Abbildungsgrades. Gewiß ist es leicht, Begriffsbildungen und Fragestellungen anzugeben, die der rein mengentheoretischen Topologie angehören; aber beim Durchblättern des Buches ist man überrascht, welche Fülle von topologisch invarianten Eigenschaften von Punktmengen darin zur Sprache kommt, überrascht deshalb, weil es sich vielfach um Begriffe handelt, die ihren Ursprung oder wenigstens ihre große Bedeutung in der Theorie des Maßes und der reelen Funktionen haben, so daß man sie eher im Zusammenhang mit diesen Theorien als mit der Topologie zu sehen gewohnt ist. Es handelt sich also um Untersuchungen jener topologisch-mengentheoretischen Art, durch die die “Fundamenta Mathematicae” unter den mathematischen Zeitschriften ihre eigentümliche Note erhalten haben. Alle diese Dinge werden eingeordnet in eine axiomatische Theorie der separablen metrischen Räume, der Klasse der Teilmengen des abzählbar-dimensionalen Raumes \(E_{\omega }\) (in der Bezeichnung Fréchets, “Les espaces abstraits”, 1928; F. d. M. 54, 614 (JFM 54.0614.*)-616) oder der Teilmengen der Fundamentalquader des Hilbertschen Raumes. Die gedrängte Kürze der Darstellung, die es dem Verf. ermöglicht, trotz des Umfanges des behandelten Materials noch Hinweise auf verwandte Fragestellungen und Ergebnisse, auf Fragen der effektiven Konstruktion, sowie recht umfassende bibliographische Notizen einzufügen, wird erreicht durch konsequente Anwendung des Kalküls der Mengenlehre und, in manchen Abschnitten, auch der Logik, der in der Einführung kurz entwickelt wird.
Grundbegriff des Axiomensystems ist, neben der Menge von Elementen, die den Raum bildet, die Operation, die jeder Teilmenge \(X\) eine Menge \(\overline {X}\) als abgeschlossene Hülle (fermeture) zuordnet. Dem Kap. I “Notions fondamentales, calcul topologique” liegen die Axiome \[ \begin{aligned} \overline {X + Y} &= \overline {X} + \overline {Y};\tag{I}\\ \overline {X} = X, \text{ wenn \(X\) nur aus }&\text{einem Punkt besteht oder leer ist};\tag{II}\\ \overline {\overline {X}} &= \overline {X}\tag{III}\end{aligned} \] zugrunde, die den formalen Kalkül bestimmen und jene Räume kennzeichnen, die Fréchet “espaces accessibles” nennt. Da die topologischen Abbildungen charakterisiert sind als diejenigen eineindeutigen Abbildungen, für die \(\overline {f(X)} = f(\overline {X})\) gilt, ist die Invarianz aller der Eigenschaften, die sich allein mit Hilfe der mengentheoretischen Operationen (Summe, Durchschnitt, Differenz) und der Bildung der abgeschlossenen Hülle definieren lassen, gegenüber homöomorphen Abbildungen des ganzen Raumes von vornherein gesichert. Den Inhalt des ersten Kapitels möge das folgende Verzeichnis von Stichworten andeuten: Abgeschlossene und offene Mengen, \(G_{\delta }\)- und \(F_{\sigma }\)-Mengen, Borelsche Mengen. Begrenzung einer Menge, innere Punkte. Umgebung eines Punktes, hier definiert als den Punkt enthaltende, nicht notwendig offene Menge; Einführung von Eigenschaften im Kleinen, wobei die Definition von “additiven und erblichen” Mengenfamilien vielfach die Beschränkung auf offene Umgebungen gestattet. Überall dichte Mengen, Randmengen, nirgends dichte Mengen. Häufungspunkte; isolierte, in sich dichte und separierte Mengen. Mengen erster Kategorie. Die Bairesche Eigenschaft im weiteren und im engeren Sinne; Invarianz gegen \(A\)-Mengenbildung. Alternierende Reihen von (monoton abnehmenden) abgeschlossenen Mengen; Körper; Residuen. Stetigkeitseigenschaften von Funktionen; Homöomorphie; Fréchetscher Dimensionstypus, hier “rang topologique” genannt; topologisch homogene Mengen. - Soweit wie möglich, werden diese Eigenschaften absolut, als Relativbegriffe und als Eigenschaften im Kleinen betrachtet.
Im Abschnitt (A) “Introduction de la limite, de la distance et des coordonnées” des Kap. II “Espaces métrisables et séparables” wird der axiomatische Aufbau durch Einführung zweier neuer Axiome, des Trennungsaxioms des Basisaxioms (zweiten Abzählbarkeitsaxioms) zum Abschluß gebracht. Zuvor aber werden zwei wichtige Raumtypen eingeführt: \(\mathfrak L^*\)-Räume, d. h. Fréchetsche \(\mathfrak L\)-Räume mit der für vernünftiges Verhalten der konvergenten Folgen notwendigen Einschränkung und metrische Räume. Die \(\mathfrak L^*\)-Räume, zu denen bei der üblichen Limesdefinition auch die Hausdorffschen topologischen Räume gehören, erfüllen Axiom I und II, aber nicht notwendig III. Die metrischen Räume ordnen sich, bei der üblichen Definition der Grundbegriffe des entsprechenden Raumtypus, sowohl den \(\mathfrak L^*\)-Räumen als auch den Hausdorffschen topologischen Räumen und den durch Axiom I-III definierten Räumen unter. Insbesondere werden hier Produkträume - “cartesische Produkte” genannt - von endlich oder abzählbar vielen Faktoren daraufhin untersucht, ob sie bei entsprechender Eigenschaft der Faktoren \(\mathfrak L^*\)-Räume, separable Räume, metrische Räume oder total beschränkte Räume sind. Von ähnlichem Gesichtspunkt wird auch der Raum \(2^{\mathfrak X}\) der abgeschlossenen beschränkten Teilmengen eines metrischen Raumes \(\mathfrak X\), ferner der Raum der beschränkten Funktionen (Definitionsbereich und Wertevorrat sind metrische Räume) betrachtet. Mit der Alexandroffschen Nervkonstruktion für Überdeckungssysteme metrischer Räume, die auch später, besonders in der Dimensionstheorie, noch angewendet wird, werden an dieser Stelle ausnahmsweise Dinge aus der simplizialen Topologie gestreift. - Nach diesen Vorbereitungen wird das - in metrischen Räumen ebenfalls erfüllte - Trennungsaxiom formuliert: (IV) Zu je zwei abgeschlossenen zueinander fremden Mengen \(A, B\) gibt es eine offene Menge \(G\), so daß \(A < G, B\overline {G} = 0\). Außer einer Reihe von Trennungssätzen folgt daraus der als Möglichkeit der Abbildung des Raumes auf ein Intervall gedeutete Satz von der Existenz einer im ganzen Raume stetigen Funktion \(f(x), 0 \leq f(x) \leq 1\), die auf zwei zueinander fremden abgeschlossenen Mengen die Werte 0 bzw. 1 annimmt. Das Basisaxiom besagt: (V) Es gibt eine Folge von offenen Menge \(R_1, R_2,\dots \) (eine Basis), so daß jede offene Menge als Summe von Mengen \(R_i\) darstellbar ist. Aus ihm folgt der Lindelöfsche Überdeckungssatz (Existenz eines abzählbaren Teilsystems in jedem Überdeckungssystem) sowie für metrische Räume die Separabilität, aus der umgekehrt in metrischen Räumen wieder die Gültigkeit der Axiome (I)-(V) folgt. Ihren Abschluß finden diese Betrachtungen in dem Beweis des Urysohnschen Satzes von der Möglichkeit der Einbettung eines den Axiomen (I)-(V) genügenden Raumes in die Fundamentalquader des Hilbertschen Raumes (Math. Ann. 94 (1925), 309-315; F. d. M. 51, 453 (JFM 51.0453.*)), wodurch zugleich die Metrisation dieser Räume und die Einführung von “Koordinaten” geleistet wird.
Die Theorie der Punktmengen und Funktionen in separablen metrischen Räumen wird in den folgenden Abschnitten des Kap. II weiter ausgebaut. (B) “Problèmes de la puissance”: Kondensationspunkte, sukzessive Ableitungen einer Menge, Cantor-Bendixsonschen Satz; Mächtigkeiten spezieller Mengensysteme wie des Systems der abgeschlossenen Mengen, einer monotonen Folge von monoton abnehmenden Mengen, des Szstems der in eine alternierende Reihe entwickelbaren Mengen, die Menge der stetigen Funktionen. Die Hauptergebnisse der Dimensionstheorie von Urysohn und Menger bringt der Abschnitt (C) “Problèmes de la dimension”. Die cartesischen Produkte, wichtiges Hilfsmittel für die allgemeine Theorie der Funktionen (z. B. ist das Bild (image) einer Punktmenge im Produktraum aus Definitionsbereich und Wertevorrat), werden hinsichtlich der in Kap. I definierten Begriffe, ferner der Dimension und der Basis in Abschnitt (D) “Produits cartésiens, suites d’ensembles” ohne Voraussetzung der Separabilität systematisch untersucht. Umkehrung der cartesischen Produktbildung ist die Projektion des cartesischen Produkts auf einen Faktor. Ferner werden hier in üblicher Weise die Grenzbegriffe für Mengenfolgen eingeführt. Der bei dieser Limesdefinition entstehende \(\mathfrak L^*\)-Raum der abgeschlossenen Teilmengen eines Raumes \(\mathfrak X\) wird mit dem früher Metrisation definierten Raum \(2^{\mathfrak X}\), dessen eineindeutiges, aber im allgemeinen nur in einer Richtung stetiges Bild er ist, verglichen. Der letzte Schnitt (E) “Ensembles boreliens, fonctions mesurables B” bringt - wieder zumeist, ohne den Raum als separabel vorauszusetzen - die Grundzüge der (im folgenden Kapitel noch weiter ausgebauten) Theorie der Borelschen Mengen und nach Borel meßbaren Funktionen: Klassifikation der Borelschen Mengen, Eigenschaften der Klassen, zweiseitige (ambige) Mengen, im Kleinen Borelsche Mengen, Universalfunktionen für die Klassen Borelscher Mengen und Existenzsätze. Bemerkenswert ist die durch die Klassifikation der Borelschen Mengen mitbestimmte Definition von Klassen von Satzfunktionen, die zur Auswertung der Klassen von Mengen, die durch endlich oftmalige Anwendung der logischen Operationen \(+, \cdot, '\) (Negation), \(\sum _n, \prod _n\) definiert sind, dient - ein Gedankengang, der später auch bei den projektiven Mengen wiederkehrt. Parallel dazu verläuft die Klassifikation der nach Borel meßbaren Funktionen und die Untersuchung der Klasseneigenschaften. Es folgen dann Bemerkungen über analytisch darstellbare Funktionen, die Baireschen Sätze über Funktionen der ersten Klasse sowie ein Paragraph über Funktionen mit der Baireschen Eigenschaft.
Das letzte Kapitel des Bandes, III “Espaces complets”, handelt von vollständigen Räumen. Nach Definition der Vollständigkeit und Betrachtung einiger spezieller Räume wird die Möglichkeit der Vervollständigung eines jeden metrischen Raumes bewiesen. Im Abschnitt (A) “Espaces complets arbitraires”, in dem Separabilität nicht vorausgesetzt wird, werden zwei Fragenkomplexe behandelt: Erstens Folgerungen aus dem in vollständigen Räumen geltenden Cantorschen Durchschnittsatz und aus dem Satz von Baire, daß jede Menge erster Kategorie Randmenge ist. Der letzte Satz liefert unter anderm durch Anwendung auf den Raum der stetigen Funktionen die Existenz einer stetigen Funktion ohne Derivierte. Fragen der Fortsetzung von in Teilmengen definierten Funktionen, deren We rtevorrat einem vollständigen Raum angehört: Fortsetzung von stetigen Funktionen auf \(G_{\delta }\)-Mengen, auf den ganzen Raum (Satz von Tietze); Fortsetzung von eineindeutigen umkehrbar stetigen Funktionen auf \(G_{\delta }\)-Mengen (Satz von Lavrentieff); Fortsetzung von nach Borel meßbaren Funktionen gegebener Klasse; Fortsetzung von Homöomorphien der Klasse \(\alpha, \beta \), d. h. von eineindeutigen Funktionen der Klasse \(\alpha \), deren Umkehrung der Klasse \(\beta \) angehört. Im Zusammenhang mit den Sätzen über Homöomorphie zwischen vollständigen Räumen und \(G_{\delta }\)-Mengen in vollständigen Räumen gelangt Verf. zum Begriff der inneren Invarianten (invariant intrinsèque), Invarianz gegenüber Homöomorphie der Menge, wobei Einbettung in einen vollständigen Raum vorausgesetzt wird; Beispiele: Borelsche Mengen, Bairesche Eigenschaft im engeren Sinne. Der Abschnitt (B) “Espaces complets séparables” enthält folgende Paragraphen: Beziehungen zum Raum \(\mathfrak N\) der irrationalen Zahlen. Borelsche Mengen in vollständigen separablen Räumen. Projektive Mengen. Analytische Mengen. Total imperfekte Räume. Bei diesen zum Teil erst in neuerer Zeit entstandenen Theorien werden vor allem die Abbildungseigenschaften hervorgehoben, durch die diese Gegenstände in besonderem Maße in den Bereich der Topologie gerückt sind: Separable vollständige Räume als stetige Bilder des Raumes \(\mathfrak N\); Homöomorphie der nulldimensionalen vollständigen separablen Räume mit abgeschlossenen Teilmengen von \(\mathfrak N\); homöomorphe Abbildung der Klasse 0, 1 von \(\mathfrak N\) auf eun Intervall, einen \(n\)-dimensionalen Würfel oder die Fundamentalquader des Hilbertschen Raumes; Homöomorphie der Klasse 0, \(\alpha \) zwischen abgeschlossenen Teilmengen von \(\mathfrak N\) und Borelschen Mengen der Klasse \(\alpha \), und andres. Die projektiven Mengen werden von vornherein aus den Borelschen durch wiederholte Anwendung der Prozesse stetige Abbildung (statt Projektion) und Komplementärmengenbildung definiert; insbesondere sind danach die projektiven Mengen der ersten Klasse, die analytischen Mengen, stetige Bilder der Borelschen. Daneben werden natürlich auch andere Eigenschaften, Zerlegungs- und Trennungssätze, die \(A\)-Operation, berücksichtigt. - Für total imperfekte Räume wird der Bernsteinsche Existenzsatz und der Zusammenhang mit der Baireschen Eigenschaft gebracht; dann werden noch spezielle Klassen von solchen Räumen behandelt.
Ein Sachverzeichnis und ein Autorenverzeichnis, übrigens auch das ausführliche Inhaltsverzeichnis, ermöglichen eine schnelle Orientierung in dem reichhaltigen Buch. (II, IV 3 C.)

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