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Der Hauptgeschlechtssatz für relativ-galoissche Zahlkörper. (German) JFM 59.0941.03
Als algebraischen Kern des Hauptgeschlechtssatzes betrachtet Verf. den Hauptgeschlechtssatz im Minimalen. Darunter versteht sie den folgenden rein algebraischen Satz über verschränkte Produkte \(A=(a_{S, T}, K) = K(u_S)\) mit \(u_S u_T = u_{ST} a_{S, T}\) zu einer separabel-galoisschen Erweiterung \(K\) eines beliebigen Körpers \(k (S, T\) durchlaufen die Elemente der galoisschen Gruppe \(\mathfrak G\) von \(K/k\)):
1. Fassung. Sei \(\mathfrak G^*\) die aus \(K^*\) (\(K\) ohne 0) und den \(u_S\) erzeugte Erweiterung von \(\mathfrak G\) (abstrakt charakterisiert als die Gesamtheit aller derjenigen regulären Elemente \(g^*\) aus \(A\), die \(K\) als Ganzes in sich transformieren: \(g^{*-1} Kg^*=K\)). Dann ist jeder Automorphismus von \(\mathfrak G^*\), der \(K^*\) elementweise festläßt, ein innerer und wird durch Transformation mit einem Element aus \(K^*\) erzeugt.
2. Fassung. Ist für ein den Elementen \(S\) aus \(\mathfrak G\) zugeordnetes System von Elementen \(c_S\) aus \(K^*\) das System der Tranformationsgrößen \(\frac {C^T_S C_T}{C_{ST}}=1\), so existiert ein Element \(b\) in \(K^*\) derart, daß \(c_S = b^{1-S}\) für alle \(S\) aus \(\mathfrak G\) gilt.
3. Fassung. \(\mathfrak G\) besitzt in \(K^*\) nur eine einzige verschränkte Darstellungsklasse ersten Grades mit Faktorensystem 1.
Der Beweis der 1. Fassung beruht darauf, daß sich jeder Automorphismus der angegeben Art von \(\mathfrak G^*\) zu einem Automorphismus von \(A\) fortsetzen läßt; ein solcher ist ja bekanntlich stets ein innerer. Die 2. und 3. Fassung ergeben sich dann unmittelbar aus der 1. Fassung. Die 3. Fassung ist übrigens nur ein Spezialfall des folgenden allgemeinen Satzes, den Verf. in ihren Vorlesungen entwickelt hat: \(\mathfrak G\) besitzt überhaupt zu jedem Faktorensystem \(a_S, T\) nur eine einzige irreduzible verschränkte Darstellungsklasse in \(K^*\), und zwar ist diese vom Grade \(m\), wo \(m\) der Index von \(A\) (Grad der zugehörigen Divisionsalgebra) ist.
Im Spezialfall, daß \(\mathfrak G= \{ S\} \) zyklisch ist, geht die 2. Fassung in den bekannten Satz 90 aus Hilberts Zahlbericht über: Aus \(N(c)=1\) folgt \(c=b^{1-S}\).
Als eigentlichen Hauptgeschlechtsatz bezeichnet Verf. einen analogen Satz über verschränkte Produkte zu der absoluten Idealklassengruppe einer galoisschen Erweiterung \(K\) eines algebraischen Zahlkörpers \(k\) (mit aus Idealklassen bestehenden Faktorensystemen). Damit ein solches verschränktes Produkt überhaupt eindeutig definiert ist, muß man eine passende Klasseneinteilung der Faktorensysteme \(a_{S, T}\) aus Idealen von \(K\) zugrunde legen. Auf Grund des Fundamentalsatzes von den überall zerfallenden Algebren reicht die folgende Einteilung gerade aus: In die Hauptklasse werden alle Faktorensysteme aus Hauptidealen (\(a_{S, T}\)) genommen, für die zudem die verschränkten Produkte \((a_{S,T}, K)\) an allen Verzweigungsstellen von \(K/k\) zerfallen. Diese Klasseneinteilung der Idealfaktorensysteme sieht Verf. als Verallgemeinerung der für den zyklischen Fall beim Hauptgeschlechtssatz auftretenden Strahlklasseneiteilung im Grundkörper \(k\) an.
Es mag genügen, den eigentlichen Hauptgeschlechtsatz hier in dem Analogon der obigen 2. Fassung anzufügren: Ist für ein den Elementen \(S\) aus \(\mathfrak G\) zugeordnetes System von Idealen \(c_S\) von \(K\) das System der Transformationsgrößen \(\frac {C^T_S C_T}{C_{ST}} \sim 1\) im Sinne der angegebenen Klasseneinteilung der Idealfaktorensysteme - diese Aussage hängt, wie sofort zu sehen, tatsächlich nur von den absoluten Idealklassen \(C_S\) der \(c_S\) ab –, so gibt es eine absolute Idealklasse \(B\) von \(K\) derart, daß \(C_S = B^{1-S}\) für alle \(S\) aus \(\mathfrak G\) ist.
Die Klassensysteme \(C_S\) dieser Art sind als das Analogon des Hauptgeschlechts im zyklischen Fall anzusehen, entsprechend der bekannten Formulierung des Hauptgeschlechtssatzes für zyklisches \(\mathfrak G= \{ S \}\): Ist \(C\) eine absolute Idealklasse von \(K\) mit \(N(C) \sim 1\) im Sinne der \(K\) in \(k\) zugeordneten Strahlklasseneinteilung, so ist \(C=B^{1-S}\).
Der Beweis des angefügrten allgemeinen Hauptgeschlechtssatzes ergibt sich nach Artin durch Kombination des entsprechenden fast trivialen formal-algebraischen Satzes für Ideale selbst mit dem Fundamentalsatz von den überall zerfallenden Algebren. (III 5.)

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References:
[1] Vgl. dazu meinen Züricher Vortrag, Verhandl. des internat. Math. Kongr. Zürich, 1932. Bd. I: Hyperkomplexe Systeme in ihren Beziehungen zur kommutativen Algebra und Zahlentheorie, wo insbesondere auch die hyperkomplexe Fromulierung von Normensatz und Hauptgeschlechtssatz ausführlich besprochen wird. Daselbst Literaturangabe. Für den Satz über die zerfallenden Algebren vgl. außerdem die Darstellung bei H. Hasse, Die Struktur der R. Brauerschen Algebrenklassengruppe (?, 1). Math. Annalen107 (1932).
[2] Ich sage im ?Minimalen?, da es sich um das algebraische Analogon des Hauptgeschlechtssatzes inbeliebigen Körpern handelt, während im ?Kleinen? schon die Bedeutung des Übergangs zup-adischem Grundkörper hat.
[3] Der Satz findet sich bei A. Speiser, Zahlentheoretische Sätze aus der Gruppentheorie, S. 3. Math. Zeitschr.5 (1919), S. 1-6. Der Satz wird hier schon als ein solcher über verschränkte Darstellungen ausgesprochen. · JFM 47.0092.01
[4] Darüber wird je eine Note von C. Chevalley (Hamb. Ber.), H. Hasse, E. Noether erscheinen, die beiden letzteren in einem Herbrand-Gedächtnisband.
[5] Die Theorie ist im Anschluß an, eine Vorlesung von mir (1929/30) dargestellt bei H. Hasse, Theory of cyclic algebras, Kap. 2. Am. Transact.34 (1932). Vgl. ferner einen Bericht von M. Deuring über hyperkomplexe Zahlen, der in den Ergebnissen der Mathematik erscheinen soll. Die hier gegebene Zusammenstellung entnehme ich meinem unter 1. zitierten Züricher Vortrag.
[6] K * entsteht ausK durch Weglassung der Null; diese Bezeichnung wird allgemein benutzt.
[7] Der hier gegebene Beweis gilt insbesondere auch, wennk nur endlich viele Elemente enthält, ein Fall, wo der Hilbertsche Beweis versagt, der Speisersche allerdings gültig bleibt.
[8] I. Schur, Einige Bemerkungen zu der vorstehenden Arbeit des Herrn A. Speiser 3). Math. Zeitschr.5 (1919), S. 7-10. Für einen Beweis auf Grund der verschränkten Darstellungsmoduln [aus meiner unter 6) zitierten Vorlesung] vgl. den unter 6) zitierten Bericht von M. Deuring. · JFM 47.0092.02
[9] Vgl. dazu den Schluß der Einleitung.
[10] Genauer gilt:a S,T =d S T dT d ST . Beim Beweis des Hauptgeschlechtssatzes wird aber nur die abgeschwächte Aussage über die Hauptideale benutzt.
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