×

zbMATH — the first resource for mathematics

Sur les fonctions entières, qui prennent des valeurs entières dans les points \(\beta ^n, \beta \) est un nombre entier positif et \(n=1, 2, 3, \dots \). (Russian. French summary) JFM 59.1039.01
\(g(z)\) sei eine ganze Funktion, \(\beta \) eine positive ganze Zahl, und \(g(\beta ^n) (n=1, 2, \dots )\) seien ganze Zahlen. Ist nun \[ |g(z)|<\varepsilon (z). e^{\frac {\log ^2 z}{4 \log \beta }} |z|^{-\frac 12}, \quad \lim _{|z| \to \infty } \varepsilon (z)=0, \] so istn \(g(z)\) ein Polynom. - Der Beweis ist einfach und gelingt durch Abschätzung der Koeffizienten der Interpolationsreihe von \(g(z)\) an den Stellen \(z=\beta ^n (n=1, 2, \dots )\). Verf. gibt als Beispiel einer transzendenten Funktion \[ \varphi (z)=\sum _{k=1}^\infty \frac {(z-\beta )(z-\beta ^2) \dots (z-\beta ^k)}{(\beta -1)(\beta ^2-1) \dots (\beta ^k -1)} \beta ^{-\frac {k(k+1)}2} \] an und zeigt \(|\varphi (z)|<C e^{\frac {\log ^2 z}{4\log \beta }} |z|^{-\frac 12}\).
Der Satz des Verf. läßt sich jedoch durch geringfügige Änderung der Abschätzungen verschärfen: Man nehme S. 44, Z. 16 v. o. \(|z|=\beta ^{2n+1}\) statt \(|z|=\beta ^{2n}\); dann erhält man den Satz: Ist \(|g(z)|<\gamma e^{\frac {\log ^2 z}{4\log \beta }} |z|^{-\frac 12}, \gamma <\beta ^{\frac 1{4}}\), so ist \(g(z)\) ein Polynom. Untersucht man die Konstante \(C\) in dem angegebenen Beispiel genauer, so erkennt man, daß man an Stelle derselben \(\beta ^{\frac 1{4}}+\delta (z)\) mit \(\delta (z)>0, \lim _{|z| \to \infty } \delta (z)=0\) setzen kann.

PDF BibTeX XML Cite
Full Text: EuDML