Mazur, S. Über schwache Konvergenz in den Räumen \((L^p)\). (German) JFM 59.1076.01 Studia 4, 128-133 (1933). In einem linearen, normierten Raum \(X\) bildet der Durchschnitt eines Systems von Kugeln stets eine konvexe, abgeschlossene und beschränkte Menge; in euklidischen Räumen gilt hiervon bekanntlich die Umkehrung, die man auch so formulieren kann: (1) Ist \(W\subset X\) eine konvexe, abgeschlossene und beschränkte Menge, \(x_0\in X-W\), so gibt es eine Kugel \(K\), so daß\(W\subset K, x_0\in X-K\).Verf. zeigt in der vorliegenden Note zunächst, daß(1) allgemeiner in der Klasse der linearen, normierten Räume \(X\) gilt, die die folgeden Bedingungen erfüllen: \((\alpha )\) Die Norm, als ein in \(X\) erklärtes Funktional aufgefaßt, besitzt in jedem von 0 verschiedenen Punkte ein starkes Differential (im Sinne von Fréchet). \((\beta )\) In jeder beschränkten Punktfolge aus \(X\) gibt es eine gegen einen Punkt aus \(X\) schwachkonvergente Folge.Aus der Gültigkeit des Satzes (1) folgt nach einem früheren Ergebnis des Verf. (s. vorstehend besprochene Arbeit, insbesondere S. 83) das Bestehen des Satzes: (2) Ist \(x_n\in X\) \((n=1, 2, \dots )\), \(x_0\in X\), die Folge \(\{ x_n\}\) beschränkt, und enthält jede Kugel mit unendlich vielen Punkten \(x_n\) auch \(x_0\) (was gleichbedeutend ist mit \[ \underset {n\to \infty } {\underline \lim }| x_n-x| \geqq | x_0-x| \] für \(x\in X\)), so ist die Folge \(\{ x_n\}\) gegen \(x_0\) schwachkonvergent. Die Umkehrung dieses Satzes gilt allgemein.Wie Verf. zeigt, gehören zu den Räumen \(X\), die die Bedingungen \((\alpha )\) und \((\beta )\) erfüllen und für die daher (1) und damit auch (2) gilt, insbesondere die Räume \((L^p)\) der mit der \(p\)-ten Potenz integrablen Funktionen für \(p>1\) (nicht für \(p=1\)). Aus (2) ergibt sich daher speziell: Ist \(x_n\in (L^p)\) \((n=1, 2, \dots )\), \(x_0\in (L^p)\), wo \(p>1\), so ist notwendig und hinreichend dafür, daßdie Folge \(\{ x_n\}\) gegen \(x_0\) schwachkonvergent sei, das Bestehen der beiden Bedingungen: \[ \begin{gathered} \underset {n\to \infty } {\underline \lim }\int \limits _0^1 | x_n(t) -x(t)| ^pdt\geqq \int \limits _0^1| x_0(t)-x(t)| ^pdt \quad \text{für} \quad x\in (L^p), \tag{\text a}\\ \int \limits _0^1| x_n(t)| ^pdt\leqq N \quad \text{für} \quad n=1, 2, \dots \quad \text{bei konstantem } N. \tag{\text b} \end{gathered} \] Reviewer: Lösch, F., Dr. (Berlin) Cited in 17 Documents JFM Section:Zweiter Halbband. Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 7. Integralgleichungen. Funktionalanalysis. PDFBibTeX XMLCite \textit{S. Mazur}, Stud. Math. 4, 128--133 (1933; JFM 59.1076.01) Full Text: DOI EuDML