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The calculus of finite differences. (English) JFM 59.1111.01
XXIII + 558p. London, Macmillan and Co. (1933).
Die ersten fünf Kapitel tragen die überschriften: Dividierte Differenzen, Differenz-Operatoren, Interpolation, Numerische Anwendungen der Differenzen, Reziproke Differenzen. In ihnen wird die eigentliche Differenzenrechnung behandelt. Dabei tritt sehr die Freude des Verf. an Operatoren und symbolischer Rechnung zu Tage, aber auch der eigentliche Zweck der Differenzenrechnung, die numerische Interpolation von Funktionen aus Tabellenwerten wird herausgearbeitet und an vielen Beispielen illustriert. Auch auf Fehlerabschätzung ist dabei großer Wert gelegt. Darauf folgt ein Kapitel über Bernoullische und Eulersche Polynome und eines über numerische Differentiation und Integration.
Der ganze Rest des Buches ist den Differenzengleichungen gewidmet. Kap. 8 und 9 behandeln die Nörlundsche Theorie der Hauptlösung der Gleichung \[ u(x+\omega )-u(x)=f(x) \] mit Anwendung auf die Gammafunktion. Kap. 10: Fakultätenreihen. Kap. 11: Differenzengleichungen erster Ordnung. Dabei werden auch einige Typen behandelt, die man anderwärts kaum findet, Analogien zur Clairautschen und Riccatischen Differentialgleichung und zur Theorie des Multiplikators.
Die weiteren Kapitel sind den linearen Differentialgleichungen höherer Ordnung gewidmet, und zwar wird un Kap. 12 hauptsächlich die formale Seite behandelt (größter gemeinsamer Teiler, Reduzibilität), während die Kap. 13 bis 17 von den Lösungsmethoden und den analytischen Eigenschaften der Lösungen handeln. Behandelt werden Gleichungen mit konstanten Koeffizienten, mit rationalen Koeffizienten und mit Fakultätenreihen als Koeffizienten. Dabei wird wieder reichlich die symbolische Methode benutzt und die Lösung vielfach durch eine Art Heaviside-Kalkül gewonnen. Auch einige partielle Differenzengleichungen werden hier eingestreut. Kap. 15 ist speziell der Laplaceschen Transformation gewidmet, durch welche Gleichungen mit rationalen Koeffizienten auf lineare Differentialgleichungen zurückgeführt werden. Kap. 17 rankt sich um den Poincaréschen Satz, und zwar wird dieser Gegenstand gründlicher als in anderen Büchern behandelt. Einige hierher gehörige Sätze von Perron werden mit ihren vollständigen Beweisen wiedergegeben.
Am Schluß eines jeden Kapitels finden sich zahlreiche Übungsaufgaben.
Besprechungen: E. B. Escott; Amer. Math. Monthly 42 (1933), 240-242.
A. Walther; Jahresbericht D. M. V. 46 (1936), 30-33 kursiv.