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Asymptotische Gesetze der Wahrscheinlichkeitsrechnung. (German) JFM 59.1153.01
Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete 2, Nr. 4. Berlin: Julius Springer. IV + 77 S. (1933).
Verf. ist bestrebt, die Grenzwertsätze der Wahrscheinlichkeitsrechnung, die bisher in ihrer Beweisführung und der Auffassung der Voraussetzungen gesondert nebeneinander standen, im einer einheitlichen Theorie zusammenzufassen. Dabei wird bewußt auf einige schöne Ergebnisse der letzten Zeit verzichtet, deren Herleitung sich nicht in die einheitliche Beweisführung einordnen läßt, sondern anderweitige Hilfsmittel (z. B. Funktionentheorie) erfordert.
Zuerst wird der Laplace-Ljapounoffsche Grenzwertsatz bewiesen: \[ F_1(x), F_2(x), \dots, F_n(x) \] seien beliebige, voneinander unabhängige Einzelverteilungen der Variablen \(x_1, x_2\), \(\dots, x_n\). Die Erwartungswerte derselben seien alle 0, ferner seien die Variablen selbst so normiert, daß die Summe ihrer Streuungen \(b_k\) gleich 1 ist. Mit \(U_k(x)\) sei die Wahrscheinlichkeit dafür, daß\^^M\(x_1+x_2+\cdots +x_k\leqq x\) ist, bezeichnet, und es sei ferner \[ \varPhi (x)=\frac {1}{\sqrt {2\pi }}\int \limits ^xe^{-\tfrac 12u^2}du. \] Zu jedem \(\varepsilon >0\) gibt es dann zwei positive Zahlen \(\tau \) und \(\lambda \) von der Beschaffenheit, daß jedesmal, wenn die Bedingungen \[ \int \limits _{| x| >\tau }x^2dF_k(x)<\lambda b_k \qquad (k=1, 2, \dots, n) \] erfüllt sind, für alle \(x\) \[ | U_n(x)-\varPhi (x)| <2\varepsilon \] ist.
Die hier vorliegende Vorausetzung, die in dieser Form im wesentlichen von J. W. Lindberg stammt, bedeutet sachlich, daß die Beiträge der Einzelwerte \(x_k\) im Verhältnis zur Gesamtsumme klein sein müssen. Die auf J. Patrowsky und A. Kolmogoroff zurückgehende Beweisidee benutzt die Rekursionsformel \[ U_k(x)=\int U_{k-1}(x-\xi )dF_k(\xi ) \] und zerlegt die Abschätzung des Absolutbetrages \(| U_n(x)-\varPhi (x)| \) in zwei einseitige Abschätzungen, indem eine “obere” und eine “untere” Funktion eingeführt wird. Wichtig für die Verallgemeinerungen des Satzes ist die Tatsache, daß \(\varPhi \left ( \dfrac {x}{\sqrt z}\right ) \) als spezielle Lösung einer einfachen partiellen Differentialgleichung (Wärmegleichung) erscheint.
Zunächst wird dieser Satz auf zweidimensionale Wahrscheinlichkeitsverteilungen ausgedehnt, wobei zwischen den Variablen \(x_k\) und \(y_k\) Abhängigkeit bestehen kann, die in der Grenzverteilung (zweidimensionales Gaußgesetz) nurmehr im quadratischen Korrelationskoeffizienten zum Ausdruck kommt. Eine andere tiefergehende Verallgemeinerung erfolgt dadurch, daß der Änderungsprozeß, der bis jetzt im Hinzukommen einer weiteren Variablen \(x_k\) bestand, als kontinuierlicher Vorgang (kontinuerlicher stochastischer Prozeß) aufgefaßt wird. Auch hier tritt als Resultat die Gaußverteilung auf.
Liegt nicht völlige Unabhängigkeit zwischen den einzelnen Variablen vor, sondern wird die Verteilung der \(k\)-ten Variablen erst durch die Summe der \(k-1\) vorgehenden Variablen festgelegt, so haben wir das erste Diffusionsproblem. Dieses, ebenso das sogenannte zweite Diffuzionsproblem, ferner das einseitige Irrfahrtsproblem und schließlich eine weitere Verallgemeinerung des Laplace - Ljapounoffschen Satzes, die eine Aussage über den gesamten Verlauf des in diesem Satz enthaltenen Summationsprozesses gestattet, alle diese Probleme werden mit den gleichen Mitteln, wie sie beim ersten Satz Anwendung fanden, behandelt. Immer sind die Ergebnisse durch spezielle Randbedingungen ausgesonderte Lösungen von gewissen partiellen Differentialgleichungen.
Neben diesem Problemkreis wird der Poissonsche Grenzwertsatz in etwas allgemeinerer Form als üblich hergeleitet. Im letzten Kapitel findet sich eine genaue Darstellung des vom Verf. 1923 gefundenen Satzes vom iterierten Logarithmus, der sowohl für Summen von zufälligen Veränderlichen, als auch für den stetigen stochastischen Prozeß bewiesen wird.
Besprechung: W. Lorey; Allgemeines Statistisches Archiv 23 (1933), 462-463.