×

zbMATH — the first resource for mathematics

Principles of geometry. VI: Introduction to the theory of algebraic surfaces and higher loci. (English) JFM 59.1290.03
10 + 308p. Cambridge, University Press; New York, Macmillan (1933).
Das Werk ist in sieben Kapitel aufgegliedert; von jedem derselben geben wir im folgenden eine kurze Inhaltsangabe.
Im Kapitel I werden die Definitionen algebraischer Korrespondenzen zwischen Punkten einer Kurve gegeben, die zu Gebote stehenden Untersuchungsmethoden eingeführt und eine Reihe von Sätzen entwickelt. An vielen gut gewählten Beispielen wird ihre Tragweite erprobt. - Die Anwendung der Riemannschen Methoden auf die Theorie der algebraischen Korrespondenzen wird im Anschluß an Hurwitz gezeigt und schließlich ihre Verknüpfung und der Zusammenhang mit den sogenannten defekten (defektive) Integralen aufgewiesen.
Das Kapitel II gibt eine Gliederung des Schubertschen Kalküls der abzählenden Geometrie, indem es zunächst Schuberts Methoden klarlegt, den Bedingungen-Kalkül auf eine Linie anwendet und das Problem mehrfacher Tangenten einer Mannigfaltigkeit behandelt. Hierauf wird der interessante Begriff der Korrespondenz von Punkten zweier Mannigfaltigkeiten herausgearbeitet, im übrigen werden wichtige Erweiterungen der Korrespondenztheorie auf Aggregate beliebiger Dimension gegeben und damit die Schubertschen Gedankengänge in ihrer geometrischen und logischen Bedeutung herausgestellt. Zahlreiche Beispiele ergänzen die allgemeinen Entwicklungen.
Das Kapitel III entwickelt in seinem ersten Teil eine Zusammenstellung von Sätzen der ebenen Geometrie, beschäftigt sich daher zunächst mit Cremona-Transformationen und mit den vier Bertinischen Typen von Involutionen in einer Ebene. Die Behandlung allgemeinerer Involutionen leitet schließlich zum zweiten Teil des Kapitels über, der die Hauptaussagen über rationale Flächen bringt und an einer Reihe von Beispielen die Untersuchungsmethoden illustriert.
Kapitel IV leitet in aller Ausführlichkeit die elementaren Grundeigenschaften der Flächen des \(R_3\) und \(R_4\) her und vermittelt in zahlreichen Beispielen wertvolle Einsichten.
Das folgende Kapitel V ist das an eigenen Untersuchungen des Verf. reichste und legt sehr interessante neue Ergebnisse dar. Es gibt eine Einführung in die Theorie der Invarianten der birationalen Transformation einer Fläche im \(R_3\), die die in der Literatur verstreuten wichtigen diesbezüglichen Ergebnisse sammelt und in eine systematische Ordnung bringt, daneben offene Lücken in den bisherigen Untersuchungen schließt und insbesondere die rein geometrischen Methoden klar zur Geltung bringt.
Im Kapitel VI wird im einzelnen eine Theorie der Schnitte von Flächen und anderen Mannigfaltigkeiten im \(R_4\) entwickelt, die sich insbesondere um die Gewinnung formelmäßiger Ausdrüke für die hier auftretenden verschiedenen Schnittbeziehungen bemüht. Die Betrachtung der Restschnitte wird gerade hier sehr weit geführt. Wieder liefern viele Beispiele neue Einblicke in konktrete geometrische Scnitt-Zusammenhänge.
Das Kapitel VII endlich stellt eine Reihe von Anwendungen der vorangegangenen Shnitt-Thoerie zusammen und entwickelt besondere Aussagen über Flächen und über mehrfache Korrespondenz zweier Flächen.
Das Werk stellt fast vollständig die gesamte Literatur über das behandelte Gebiet zusammen und enthält am Schluß einen brauchbaren Sachweiser. (V 5 E,F.)