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On the problem of Plateau. (English) JFM 59.1341.01

Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete 2, Nr. 2. Berlin: Julius Springer. 109 S. 1 Abb (1933).
Dieses Buch ist augenblicklich die beste übersichtsmäßige Darstellung der ganzen theoretischen Apparates, der sich an Hand des Plateauschen Problems entwickelt hat.
Das erste Kapitel gibt eine Einführung in die von Lebesgue, Fréchet, Tonelli und anderen gebildeten allgemeinen Definitionen der Bogenlänge einer Kurve und des Flächen inhaltes eines Flächenstückes. Im zweiten Kapitel werden die wohlbekannten und zum Teil klassischen Formeln und Eigenschaften der Minimalflächen im Kleinen behandelt, sowiet sie für das Plateausche Problem eine Beseutung besitzen. Die Minimalflächen im Großen, der Zusammenhang des Plateauschen Problems mit dem Problem des kleinsten Flächeninhaltes (das sogenannte simultane Problem), sowie die verschiedenen Probleme, die entstehen, wenn besondere Voraussetzungen über die Berandung, Singularitäten und Analytizität gemacht werden, finden ausführliche Darstellung im dritten Kapitel. Die beiden nächsten Kapitel geben den Formelapparat zum Plateauschen Problem einmal in der nichtparametrischen Darstellung, sodann in der Parameterdarstellung. Außerdem werden die verschiedenen Integralkriterien für die Minimaleigenschaft und im letzteren der beiden Kapitel insbesondere der Ansatz von Douglas gebracht. Das Schlußkapitel behandelt das simultane Problem in der Parameterdarstellung und seine Verallgemeinerungen. In der Hauptsache finden sich hier die Ergebnisse von Douglas, McShane und Verf.