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Sui sistemi di velocità e le famiglie naturali di linee in uno spazio curvo. (Italian) JFM 59.1358.01

Verf. nennt im Anschlußan J. Lipka “sistemi di velocità” Liniensysteme einer \(V_n\), die (in Vektorform) durch eine Differentialgleichung zweiter Ordnung \[ \frac {d_v^2Q}{ds^2}=c\left ( \pmb f_v-\pmb f_v\times \frac {dQ}{ds} \cdot \frac {dQ}{ds}\right ) \] dargestellt werden. Dabei ist \(s\) die Bogenlänge, \(d_v\) das Symbol des absoluten Differentials in \(V_n, \pmb f_v\) ein Vektorfeld in \(V_n\) und \(c\) eine beliebige Konstante. Nach den Bezeichnungen des Riccikalküls ist diese Gleichung dem System \[ \frac {d^2x^{\lambda }}{ds^2}+ \left ( \left \{ \begin{matrix} \mu \nu \\ \lambda \end{matrix} \right \} - cf^{\lambda }g_{\mu \nu } +cg_{\tau \nu }f^{\tau }\delta _{\mu }^{\lambda }\right ) \frac {dx^{\mu }}{ds}\frac {dx^{\nu }}{ds}=0, \tag{\(\alpha \)} \] worin \(ds^2=g_{\lambda \mu }dx^{\lambda }dx^{\mu }\), äquivalent. - Die Benennung rührt daher, daßdie Gleichungen (\(\alpha \)), wenn man die Konstante \(c\) durch \(\dfrac {1}{{s'}^2}\) \(\big ( s'=\dfrac {ds}{dt}\), wobei \(t\) die Zeit bezeichnet\(\big )\) ersetzt, aus den Gleichungen der Dynamik eines holonomen Massensystems mit \(n\) Freiheitsgraden abgeleitet werden können. In dem Spezialfall, wo dieses System einer konservativen Kraft (\(\pmb f_v=\text{grad}_vU\)) unterworfen ist, heißen die “sistemi di velocità” des Verf. im Anschlußan E. Kasner “natürliche Familien” von Linien.
Verf. hat nicht auf die schon von Lipka (1920-21; F. d. M. 47, 808 (JFM 47.0808.*)) bemerkte Tatsache Rücksicht genommen, daßdie “sistemi di velocità” die geodätische Linien eines beliebigen Weylschen Zusammenhangs sind. Daraus folgt im besonderen, daß(vgl. E. Bortolotti, 1926; F. d. M. 52, 737 (JFM 52.0737.*)) die “natürliche Familie” die “konformgeodätischen” Linien einer \(V_n\) sind, d. h. daßsie die geodätischen Linien mittels einer passenden konformen Transformation der Metrik in \(V_n\) werden. Daher kann man eine Reihe der Eigenschaften, die Verf. über die “sistemi di velocità” und im speziellen über die “naturlichen Familien” feststellt, sehr einfach ableiten, z. B. ist es durchaus bekannt, daß“die einzigen Korrespondenzen zwischen zwei gekrümmten Räumen, welche die “natürliche Familie” des einen in die des anderen überführen, die konformen Korrespondenzen” sind (p.299). Unter den andern festgestellten Eigenschaften sei die folgende erwähnt: Notwendig und hinreichend dafür, daßein System von Kurven einer \(V_n\), von denen durch jeden Punkt genau \(\infty ^1\) Kurven gehen, ein “sistema di velocità” ist, ist, daßin jedem Punkte die Zentren der geodätischen Krümmung (in bezug auf \(V_n\)) der Linien des Systems, die von ihm ausgehen, auf einem \(S_{n-1}\) des berührenden \(S_n\) liegen und daßaußerdem die Schmiegebenen dieser Linien alle durch ein und dieselbe Gerade gahen.
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