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Über irreduzible Ideale in kommutativen Ringen. (German) JFM 60.0095.02
Es handelt sich um die Untersuchung der irreduziblen Ideale (d. h. die sich nicht als Durchschnitt echter Teiler darstellen lassen) in einem kommutativen Ring \(\mathfrak R\) mit Teilerkettensatz. Über diese irreduziblen Ideale, die als die Bausteine aller Ideale von \(\mathfrak R\) anzusehen sind, wurden für Polynomringe \(\mathfrak R\) eine Reihe wichtiger Sätze von Macaulay (Math. Ann. 74 (1913), 66-121 und “The algebraic theory of modular systems”, Cambridge 1916; F. d. M. 44, 246 (JFM 44.0246.*); 46, 167) mit HIlfe seines “inversen Systems” aufgefunden. Die vorliegende Arbeit gibt u. a. einen neuen einfachen Zugang zu diesen nicht ganz leicht begründeten Resultaten, und zwar auf Grund der allgemeinen idealtheoretischen Methoden von Dedekind und E. Noether.
Jedes irreduzible Ideal \(\mathfrak q\) ist primär. Damit umgekehrt ein Primärideal \(\mathfrak q\) (mit vom Einheitsideal verschiedenen Primideal \(\mathfrak p\)) irreduzibel sei, ist notwendig und hinreichend, daß zwischen \(\mathfrak q\) und \(\mathfrak {q:p}\) kein weiteres Primärideal eingeschoben werden kann. Die allgemeine Strukturtheorie der irreduziblen Ideale ergibt sich durch Übergang zum Restklassenring \(\mathfrak o = \mathfrak {R/q}\), dessen Ideale eineindeutig den zu \(\mathfrak p\) gehörigen primären Teilern von \(\mathfrak q\) entsprechen. Als allgemeiner Ersatz des von Macaulay benutzten, auf den Polynomfall beschränkten inversen Systems dient das auf Dedekindscher Grundlage definierte inverse Ideal \(\mathfrak {n:a}\) eines Ideals \(\mathfrak a\) von \(\mathfrak o\), wo \(\mathfrak n\) das Nullideal von \(\mathfrak o\) ist. Das obige Irreduzibilitätskriterium für \(\mathfrak q\) lautet dann, daß \(\mathfrak {n:p}\) Hauptideal ist. Allgemein ergibt sich: Die Anzahl der irreduziblen Komponenten in einer kürzesten Durchschnittsdarstellung von \(\mathfrak a\) ist gleich der Anzahl der Basiselementein einer kürzesten Basisdarstellung des inversen Ideals \(\mathfrak {n:a}\).
Diese und noch einige weitere für irreduzible Ideale gewonnenen Struktursätze übertragen sich größtenteils auch auf eine umfassendere Klasse von Idealen, die als reguläre Ideale bezeichnet werden (Macaulays principal systems). Ein Ideal \(\mathfrak a\) von \(\mathfrak R\) heißt regulär, wenn \(\mathfrak a\) als Durchschnitt gegenseitig primer irreduzibler größter Primärideale darstellbar ist. Insbesondere gilt für Hauptideale \((a)\), wenn \(\mathfrak R\) zudem ein Einselement besitzt: Ist \(a\) Nichtnullteiler, und ist der Quotientenring \(\mathfrak R _a\) (mit zu \(a\) primem Nenner) innerhalb des vollen Quotientenrings von \(\mathfrak R\) ganz algebraisch abgeschlossen, so ist das Hauptideal \((a)\) regulär. Speziell ist also jedes Hauptideal \((a)\) mit Nichtnullteiler \(a\) regulär, wenn \(\mathfrak R\) ganz algebraisch abgeschlossen ist.

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References:
[1] F. S. Macaulay, On the resolution of a given Modular System into Primary Systems including some Properties of Hilbert Numbers, Math. Annalen74 (1913) und The Algebraic Theory of Modular Systems, Cambridge 1916. Die erste Arbeit wird im folgenden mit M1, die zweite mit M2 zitiert.
[2] ?Principal system?, d. h. die Basis dieses Systems wird durch ein einziges Element gebildet.
[3] Eine ausführlichere Darstellung dieser Operation findet sich bei B. L. van der Waerden, On Hilbert’s Function, Kon. Akad. v. Wetensch. Amsterdam Proc.30, 2 (1928), p. 749-770; §24.
[4] Über Quotientenringe und das Entsprechen der Ideale siehe H. Grell, Beziehungen zwischen den Idealen verschiedener Ringe, Math. Annalen97 (1927), besonders §6.
[5] Siehe M2, §26 F. S. Macaulay, On the resolution of a given Modular System into Primary Systems including some Properties of Hilbert Numbers, und The Algebraic Theory of Modular Systems, Cambridge 1916.
[6] Diese Bezeichnung steht in Übereinstimmung mit der v. d. Waerdenschen Definition, v. d. Waerden, a. a. O., § 26. · Zbl 0007.07501 · doi:10.1007/BF02940659
[7] Siehe E. Noether, Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern, Math. Annalen96 (1927), § 10.
[8] W. Krull, Zur Theorie der allgemeinen Zahlringe, Math. Annalen99 (1928), § 4 bis 5. · JFM 54.0157.01
[9] E. Noether, Idealtheorie in Ringbereichen, Math. Annalen83 (1921), Satz IV. · JFM 48.0121.03
[10] Vgl. den Schluß von § 8.
[11] H. Grell, Beziehungen zwischen den Idealen verschiedener Ringe, Math. Annalen97 (1927), § 1, definiert den ?Modulkörper? als eine Menge von Elementen a, b, ..., für die vier Verknüpfungsarten a+b, a?b, a\(\cdot\), a?b bestehen; für diese gelten die bekannten Rechenregeln, welche Grell axiomatisch begründet; ebenso folgt eine ?teilweise Ordnung? der Menge mit Hilfe der abgeleiteten Beziehunge=, ?, ?. ? (unvergleichbar). EinIdealkörper ist ein Modulkörper, der einen Modul o enthält, welcher alle anderen teilt und für den \(\mathfrak{a} \mathfrak{o} \subseteq \mathfrak{a}\) ist (a ein beliebiges Element des Idealkörpers). Insbesondere bilden die Ideale eines Ringes einen Idealkörper.
[12] Dedekind, Über die Diskriminanten endlicher Körper, Abhandlung Akad. d. Wissensch. Göttingen29 (1882) oder Ges. Werke, Bd. I, S. 351-396; besonders § 9 dieser Abhandlung.
[13] Siehe E. Noether, Idealtheorie in Ringbereichen, Math. Annalen83 (1921), · JFM 48.0121.03
[14] E. Noether, a. a. O. Idealtheorie in Ringbereichen, Math. Annalen83 (1921), § 3, Hilfssatz II. · JFM 48.0121.03
[15] Siehe E. Noether, a. a. O. Idealtheorie in Ringbereichen, Math. Annalen83 (1921), Satz IV.
[16] Siehe etwa B. L. van der Waerden, Moderne Algebra, Berlin 1931, II. Teil, § 85 Schluß.
[17] Die folgende Entwicklung beruht wesentlich auf B. L. van der Waerden, Zur Produktzerlegung der Ideale in ganz-abgeschlossenen Ringen, und Zur Idealtheorie der ganz-abgeschlossenen Ringe Math. Annalen101 (1929), S. 293-308 und S. 309-311. · JFM 55.0680.02 · doi:10.1007/BF01454841
[18] ?Einhöheres Primideal ist ein Primideal, das keine echten Primvielfachen außer Nullteileridealen besitzt?. van der Waerden, a. a. O., · Zbl 0007.07501 · doi:10.1007/BF02940659
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