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Properties of functions \(f(x,y)\) of bounded variation. (English) JFM 60.0201.04
Die Arbeit schließt an eine frühere derselben Verf. (1933; F. d. M. \(59_{\text I}\), 285) an. Bezeichnet werden die Klassen der Funktionen \(f(x,y)\) von beschränkter Variation nach den Definitionen von Vitali, Hahn, Arzelà, Pierpont, Fréchet und Tonelli mit \(V,H,A,P,F,T\), die Klasse aller stetigen Funktionen \(f(x,y)\) mit \(C\), die Klasse aller einer Baireschen Klasse abgehörigen Funktionen \(f(x,y)\) mit \(B\), die Klasse aller flächenhaft meßbaren Funktionen \(f(x,y)\) mit \(M\), die Klasse aller Funktionen \(f(x,y)\) mit meßbaren Totalvariationen \(\varphi ( \overline x)\) und \(\psi (\overline y)\) mit \(M_{\varphi,\psi }\); hinzu kommt noch eine Erweiterung \(\overline T\) von \(T\). Das Produkt zweier Klassen bedeutet, wie üblich, den Durchschnitt dieser Klassen.
Gehört \(f\) zu \(P\), so werden \(\varphi \) und \(\psi \) vom integrablen Funktionen übertroffen; dies ist der wesentlichste Inhalt des zweiten Abschnittes; nimmt man noch Meßbarkeit von \(\varphi \) und \(\psi \) unter die Voraussetzungen, so gehört \(f\) auch zu \(T\).
Nach dem dritten Abschnitt ist jede der Klassen \(V,H,A,P,F\) und \(\overline T\) additiv abgeschlossen, dagegen nicht \(T\); multiplikativ abgeschlossen sind \(H,A\) und \(P\), aber nicht \(V,H,T\) und \(\overline T\). Der vierte Abschnitt bringt nach Wiederholung einiger bekannter Zerlegungssätze den Beweis dafür, daß jede Funktion, die in zwei Richtungen nicht abnimmt, zu \(P\) gehört. Der sechste Abschnitt beschäftigt sich mit den Stetigkeits-, Differenzierbarkeits- und Meßbarkeitseigenschaften der einzelnen Klassen: So besitzen die Funktionen von \(V\) nur abzählbar viele Unstetigkeitspunkte, wenn man von den nur partiellen Unstetigkeiten nach \(x\) oder \(y\) allein absieht: jede Funktion von \(P\) ist fast überall stetig, und jede Funktion von \(\overline TM\) besitzt fast überall erste partielle Ableitungen. Der siebente Abschnitt stellt eine Meßbarkeitseigenschaft von \(H\) fest, der achte die Gültigkeit einer ersten Lipschitzbedingung in \(AC\) und einer zweiten in \(V\). Gegenüber einer Drehung des Achsenkreuzes ist nur invariant die Zugehörigkeit zu \(P\) und \(TC\), dagegen nicht die zu \(V,H,A,F,T\) und \(\overline T\), wie im neunten Abschnitt bewiesen wird. Nachdem der zehnte Abschnitt die Funktionen \(f(x,y)=g(x)h(y)\) klassifiziert hat, schließt die Arbeit mit einem kritischen Vergleich aller Definitionen der beschränkten Variation für Funktionen zweier Veränderlicher.

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