Zur Differentiation der Lebesgueschen Integrale. (German) JFM 60.0218.03

Busemann, H.; Feller, W.

Fundamenta 22, 226-256 (1934).

Es sei \(R\) ein System meßbarer Mengen positiven Maßes, von denen sich auf jeden Punkt \(Q\) des Raumes eine Teilfolge \(\varrho _1,\varrho _2,\dots =\{\varrho _\nu \}\) zusammenzieht. Die Arbeit behandelt dann die Frage: Welche Beschaffenheit haben diejenigen Systeme \(R\), die für jede Lebesgue-integrable Funktion \(f(P)\) in allen Punkten \(Q\) des Raumes, mit Ausnahme einer Nullmenge, die Gleichung \(\lim _{\nu \to \infty }\frac 1{m(\varrho _\nu )}\int _{\varrho _\nu }f(P)\,dP=f(Q)\) erfüllen? Die Antwort leutet verschieden für beschränkte und für nicht beschränkte Integranden: Für erstere bilden beispielsweise die achsenparallelen Intervalle ein solches System, für letztere nicht, was in den §§ 3, 4 bewiesen wird, was aber auch schon, wie die Verf. selbst bemerken, in dem Buch “Théorie de l’intégrale” von S. Saks (1933; F. d. M. \(56_{\text I}\), 266) enthalten ist. Im Falle beschränkter Integranden sind die gesuchten Mengensysteme identisch mit denen, für welche der sogenannte Dichtesatz gilt; dieser lautet: “Ist \(\varkappa \) eine meßbare Menge und \(\{\varrho _\nu \}\) eine sich auf \(Q\) zusammenziehende Folge aus \(R\), so existiert in allen Punkten \(Q\), abgesehen von einer Nullmenge, der Grenzwert \(\lim _{\nu \to \infty }\frac {m(\varrho _\nu \varkappa )}{m(\varrho _\nu )}=1\), wenn \(Q\subset \varkappa \), und \(\lim _{\nu \to \infty }\frac {m(\varrho _\nu \varkappa )}{m(\varrho _\nu )}=0\) sonst.” In den §§ 1, 2 werden daher allgemeine Kriterien für die Gültigkeit des Dichtesatzes gegeben und auf spezielle Mengen angewendet.

Reviewer: Bögel, K., Dr. (Halberstadt)