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Einführung in die Theorie der Systeme von Differentialgleichungen. (German) JFM 60.0401.08

Hamburger mathematische Einzelschriften, Heft 16. Leipzig: B. G. Teubner. iv, 78 S. (1934).
In der Integrationstheorie allgemeiner Differentialsysteme in beliebig vielen Unabhängigen und beliebig vielen Unbekannten war C. Riquier bereits 1893 zu allgemeinen Existenzsätzen gelangt und hatte seine Resultate später in einer zusammenfassenden Darstellung veröffentlicht [Les systèmes d’équations aux dérivées partielles. Paris: Gauthier-Villars. (1909; JFM 40.0411.01)]. Hier wurde der von Cauchy für die Theorie der Differentialgleichungen gewiesene Weg auf breitester Grundlage weitergeführt.
War so mit diesen Methoden der Theoretiker jedem partiellen Differentialsystem gewachsen, so ward er es seit der Jahrundertwende dank den Arbeiten von É. Cartan [Ann. Éc. Norm. (3) 18, 241–311 (1901; JFM 32.0351.04).; [Ann. Éc. Norm. (3) 21, 153–206 (1904; JFM 35.0176.04)]) und É. Goursat [Leçons sur le problème de Pfaff. Paris: J. Hermann (1922; JFM 48.0538.01)] gegenüber einem jeden Pfaffschen System, wodurch wiederum das Integrationsproblem partieller Systeme miterfaßt war, da ja jedes partielle Differentialsystem auf ein solches skalarer und Pfaffscher Gleichungen zurückgeführt werden kann. Zugleich war aber mit der Cartanschen Theorie ein bemerkenswerter formaler Fortschritt erzielt worden durch Einführung und systematische Verwendung des Kalküls der alternierenden Differentialformen. Dazu kam in neuerer Zeit eine weitere Verallgemeinerung des Pfaffschen Problems durch É. Goursat (Leçons sur le problème de Pfaff, §27), J. M. Thomas [Bull. Am. Math. Soc. 40, 309–315 (1934; JFM 60.0417.03)] und C. Burstin [Recueil math. Moscou 37, 13–22 (1930; JFM 56.0412.02)]. Ist \(\omega \) eine alternierende Differentialform \(p\)-ten Grades, so besteht diese Verallgemeinerung des Pfaffschen Problems darin, alle \(r\)-dimensionalen Mannigfaltigkeiten \(M_r(p\leqq r<n)\) aufzustellen, von der Beschaffenheit, daß das Integral \(\int \omega \), erstreckt über eine beliebige \(p\)-dimensionale Mannigfaltigkeit auf \(M_r\), identisch verschwindet. Ist \(M_r\) durch \[ f_1=C_1,f_2=C_2,\dotsc,f_{n-r}=C_{n-r} \] gegeben, so besteht der prägnante Satz: Eine \((n-r)\)-parametrige, \(r\)-dimensionale Integralmannigfaltigkeit der Gleichung \(\omega =0\) ist durch das identische Verschwinden des symbolischen Produktes \(\omega df_1df_2\dotsc df_{n-r}\) charakterisiert.
Auf dieser begrifflichen Basis beginnt Verf. seine Darstellung mit der Theorie des “Ringes \(D\) der Differentialformen über dem Skalaren- oder Funktionenring \(F\)”:
\(F\): Gesamtheit aller in einem Gebiet holomorphen und eindeutigen Funktionen der (komplexen) Veränderlichen \(x_1,x_2,\dotsc,x_n\);
\(D\): Gesamtheit aller schiefsymmetrischern Differentialformen \[ \varOmega =a+\sum \limits _ia_idx_i+\sum \limits _{i,k}a_{ik}d(x_i,x_k)+\dotsb +\sum \limits _{i_1\dotsc i_p}a_{i_1i_2\dotsc i_p}d (x_{i_1},x_{i_2},\dotsc,x_{i_p}). \] Beschränkt man sich auf homogene Aggregate \(\omega _i\), so werden Ideale \[ \omega _1\varOmega _1+\omega _2\varOmega _2+\dotsb +\omega _r\varOmega _r, \] worin die \(\varOmega _i\) alle Formen von \(D\) durchlaufen, von besonderen Bedeutung. Eine Form \(\varOmega \) gehört zu dem von den homogenen Differentialformen \(\omega _1,\omega _2,\dotsc,\omega _r\) gebildeten Ideal, wenn \[ \varOmega \equiv \quad 0(\mod \omega _1,\omega _2,\dotsc,\omega _r). \] Erst jetzt führt Verf. im Ring \(D\) einen Differentiationsprozeß ein, d. h. eine additive Operation in \(D\), welche folgende Zuordnungen veranlaßt: \[ a\rightarrow da=\frac {\partial a}{\partial x_1}dx_1+\frac {\partial a}{\partial x_2}dx_2+\dotsb + \frac {\partial a}{\partial x_n}dx_n, \]
\[ \omega =ad(x_{i_1},x_{i_2},\dotsc,x_{i_p})\rightarrow d\omega =dad (x_{i_1},\dotsc,x_{i_p})=\sum \limits _{i=1}^n\frac {\partial a}{\partial x_1}d(x_{i_1},\dotsc,x_{i_p}). \] \(d\varOmega \) heißt das Differential oder die Ableitung von \(\varOmega \). \(\varOmega \) heißt integrabel, wenn \(d\varOmega \) identisch verschwindet. Eine Differentialform, die als Ableitung einer anderen Differentialform (aus \(D\)) dargestellt werden kann, heißt ein totales Differential. Jedes totale Differential ist integrabel. Im Bereich holomorpher Funktionen gilt auch die Umkehrung. Gehört mit \(\varOmega \) auch \(d\varOmega \) zu einem und demselben Ideal, so spricht Verf. von einem Differentialideal. Eine Basis \(\varTheta _1,\varTheta _2,\dotsc,\varTheta _l\) bestimmt ein mit dem gewöhnlichen Ideal identisches Differentialideal, wenn die \(\varTheta _i\) integrabel sind. Der Kalkül der Differentialformen ist koordinateninvariant. Insbesondere gilt: Die Differentialringoperationen sind mit Koordinatentransformationen vertauschbar. Sind \(\vartheta _1,\vartheta _2,\dotsc,\vartheta _l\) die homogenen Bestandteile der Differentialformen \(\varTheta _1,\varTheta _2,\dotsc,\varTheta _l\), und ist \(\mathfrak a\) das von \(\vartheta _1,\vartheta _2,\dotsc,\vartheta _l\) erzeugte Ideal, so verschwindet für jede Lösung des Systems \[ \vartheta _1=0,\quad \vartheta _2=0,\dotsc,\quad \vartheta _l=0 \] auch jede Form aus dem Ideal \(\mathfrak a\), und Verf. spricht von dem “dem Differentialsystem zugeordneten Ideal”.
Sind \(\varDelta _\nu x_1,\varDelta _\nu x_2,\dotsc,\varDelta _\nu x_n\) die Komponenten von \(p\) unabhängigen Vektoren \((\nu =1,2,\dotsc,p)\), welche im Punkt \((x_1^0,\dotsc,x_n^0)\) den Vektorraum \(V_p\) aufspannen, so sind die Graßmannschen Richtungskoordinaten dieser \(V_p\) bekanntlich durch \[ z_{i_1i_2\dotsc i_p}\left |\begin{matrix} \varDelta _1x_{i_1}&\varDelta _1x_{i_2}&\dots &\varDelta _1x_{i_p}\\ \varDelta _2x_{i_1}&\varDelta _2x_{i_2}&\dots &\varDelta _2x_{i_p}\\\dots &\innerhdotsfor 3\after \quad \\\varDelta _px_{i_1}&\varDelta _px_{i_2}&\dots &\varDelta _px_{i_p} \end{matrix} \right | \] gegeben, die gewissen algebraischen Relationen genügen (Graßmannsche Mannigfaltigkeit \(G_p^n\) im projektiven \(R_{\binom np-1}\)). Die Bedeutung der \(z_{i_1i_2\dotsc i_p}\) für die hier in Rede stehende Theorie ist die folgende: Eine Differentialform \(p\)-ten Grades aus \(D\) \[ \omega =\sum a_{i_1i_2\dotsc i_p} (x_1,x_2,\dotsc,x_n)d(x_{i_1},x_{i_2},\dotsc,x_{i_p}) \] verschwindet auf \(V_p^0\) (oder \(V_p^0\) genügt \(\omega =0\)), wenn \[ \sum a_{i_1i_2\dotsc i_p}(x_1^0,x_2^0,\dotsc,x_n^0)z_{i_1i_2\dotsc i_p}^0=0. \] Dann gilt: Genügt \(V_q\) den Gleichungen \[ \varOmega _1=0,\varOmega _2=0,\dotsc,\varOmega _l=0, \] so verschwindet jede Form aus dem von dieser Basis erzeugten (gewöhnlichen) Ideal; umgekehrt verschwinden wiederum alle \(\varOmega _i\) und mit ihnen alle Formen aus \(\mathfrak a\) auf \(V_q\), sobald nur alle Gleichungen vom Grad \(q\) aus \(\mathfrak a\) durch den \(V_{q^-}\) Vektor befriedigt werden.
Zur Entwicklung der eigentlichen Existenztheoreme bedarf Verf. im wesentlichen nur mehr der Begriffe Integralmannigfaltigkeiten und Integralelemente. Versteht man wiederum unter \(\mathfrak a\) das dem System \[ \vartheta _1=0,\vartheta _2=0,\dotsc,\vartheta _l=0, \] zugeordnete Ideal, so definiert Verf: Eine (aus lauter einfachen Punkten bestehende, irreduzible) algebroide Mannigfaltigkeit, deren Tangentialelemente den Gleichungen \(\mathfrak a=0\) genügen, heißt eine Integralmannigfaltigkeit. Dabei wird unter einer algebroiden Mannigfaltigkeit der Koordinatenort der in \(x\) holomorphen Potenzreihen \[ \varphi _i\equiv \mathfrak P_i(x_1-x_1^0,x_2-x_2^0,\dotsc,x_n-x_n^0)=0\quad (i=1,2,\dotsc,s) \] verstanden, unter Tangentialelement jedes Vektorgebilde (in \(x^0\)), das den Gleichungen \[ d\varphi _1=d\varphi _2=\dotsc =d\varphi _s=0 \] genügt. Ein Gleichungssystem \[ \varphi _1=0,\varphi _2=0,\dotsc,\varphi _s=0 (*) \] heißt in \(x^0\) regulär, wenn die \(n-s\) Differentiale \(d\varphi _i\) in \(x^0\) unabhängig sind. Dann stellt das Integrationsproblem die Aufgabe, alle regulären Gleichungssysteme (*) zu finden, so daß das Ideal \(\mathfrak a\) in dem von den Funktionen \(\varphi _1,\varphi _2,\dotsc,\varphi _s\) erzeugten Differentialideal enthalten ist. Ein jedes Vektorgebilde, das den Gleichungen \(\mathfrak a=0\) genügt, heißt ein Integralelement; insbesondere genügt ein \(p\)-dimensionales Vektrogebilde den Gleichungen \(\mathfrak a_p=0\), unter \(\mathfrak a_p\) die Gesamtheit aller Formen \(p\)-ten Grades aus \(\mathfrak a\) verstanden. Kann man jede zwischen den Graßmannschen Koordinaten \(z\) bestehende (homogene) Relation mit Hilfe der Basispolynome \(P_1(z),P_2(z),\dotsc,P_l(z)\) in der Form \[ \sum \limits _iA_i(z)P_i(z)=0\quad (A_i(z)\text{ Polynome}) \] darstellen, so bezeichnet Verf. die Gesamtheit solcher \(P_i(z)\) mit \(G_p^n(z)\) und stellt durch \[ \mathfrak a_p(x,z)=0,\quad G_p^n(z)=0 \] die Gesamtheit aller \(p\)-dimensionalen Integralelemente \(E_p\) im Raume \(R(x,z)\) dar. Die Bestimmung aller Vektoren \(\varDelta x_1,\varDelta x_2,\dotsc,\varDelta x_n,\) die zusammen mit \(E_p\) ein \(E_{p+1}\) aufspannen, führt auf das homogene lineare Bedingungssystem \[ \mathfrak a_{p+1}(x,z,\varDelta x)=0 (**) \] mit \(r_{p+1}+1(r_{p+1}\geqq 1)\) nichttrivialen (d. h. nicht in \(E_p\) liegenden) unabhängigen Lösungssystemen \(\varDelta x\); durch \(E_p\) gehen \(\infty ^{r_{p+1}}(p+1)\)-dimensionale Integralelemente. Die Zahl \(r_{p+1}\) kann mit \(E_p\) variieren. An dieser Stelle gibt Verf. die wichtige Definition: Ein \(p\)-dimensionales Integralelement \(E_p^0=(x^0,z^0)\) heißt regulär, wenn (1) das Gleichungssystem \[ \mathfrak a_p(x,z)=0,\quad G_p^n(z)=0 \] in der Umgebung von \(x^0,z^0\) regulär ist, (2) durch \(E_p^0\) nicht mehr \((p+1)\)-dimesionale Integralelemente hindurchgehen als durch das allgemeine zu \(E_p^0\) benachbarte \(E_p\). Integralelemente, welche diesen Bedingungen nicht genügen, heißen singulär. Diese Unterscheidung ist gegenüber biholomorphen Transformationen invariant und daher wesentlich. Die Vektoren \(\varDelta x\), die den Gleichungen \[ \mathfrak a_p(x^0,z^0,\varDelta x)=0 \] genügen, bilden das sogenannte Polarelement \(H(E_p^0)\) von \(E_p^0\) von der Dimension \(p+(r_{p+1}+1)\); es enthält alle durch \(E_p^0\) hindurchgehenden Integralelemente. Ist \(V_{n-r_{p+1}}^0\) ein \((n-r_{p+1})\)-dimensionales Vektorgebilde, so ist dessen Schnitt mit \(H(E_p^0)(p+1)\)-dimensional und stellt ein durch \(E_p^0\) gehendes \((p+1)\)-dimensionales Integralelement \(E_{p+1}^0\) dar. Dann lautet der erste Existenzsatz der Theorie: Es seien \(M_p\) eine reguläre \(p\)- dimensionale Integralmannigfaltigkeit, \(E_p^0=(x^0,z^0)\) eines ihrer regulären Elemente und \(F_{n-r_{p+1}}\) eine durch \(M_p\) gehende \((n-r_{p+1})\)-dimensionale Mannigfaltigkeit, deren Tangentialelement in \((x^0)\) mit \(H(E_p^0)\) nur ein \(E_{p+1}^0\) gemein hat. Dann gibt es in der Umgebung von \((x^0)\) genau eine \((p+1)\)-dimensionale Integralmannigfaltigkeit \(M_{p+1}\), die durch \(M_p\) geht und in \(F_{n-r_{p+1}}\) enthalten ist. Der zweite Existenzsatz lautet: Es sei \[ (x^0)=E_0^0\subset E_1^0\subset E_2^0\subset \dotsb \subset E_p^0 \] eine reguläre Kette von Integralelementen, und \[ r_0,r_1,r_2,\dotsc,r_p \] seien die zugehörigen charakteristischen Zahlen. Das Koordinatensystem \[ z_i=z_i(x_1,x_2,\dotsc,x_n) \quad \left (\begin{matrix} \l \\i=1,2,\dotsc,n;\\z_i(x_1^0,x_2^0,\dotsc,x_n^0)=0\end{matrix} \right ) \] und die Pfaffschen Formen \[ \vartheta _i=dz_i-\sum \limits _{k=1}^\nu l_{ik}^0dz_k\quad \left (\begin{matrix} \l \\r_{\nu +1}+\nu +1<i\leqq r_\nu +\nu \text{ für }\nu =1,2,\dotsc,p;\\ r_ {p+1}=-1\end{matrix} \right ) \] seien so beschaffen, daß \(E_\nu ^0\) auf \(E_p^0\) durch \[ dz_{\nu +1}=dz_{\nu +2}=\dotsb =dz_p=0 \] und auf dem Polargebilde \(H(E_{\nu -1}^0)\) durch \[ \vartheta _i=0,\quad dz_{\nu +1}=dz_{\nu +2}=\dotsb =dz_p=0 \] bestimmit wird, und daß für das Tangentialelement von \(\mathfrak a_0=0\) in \((x^0)\) \[ dz_1dz_2\dotsb dz_{r_0}\neq 0 \] ist. Die \(p\)-dimensionalen Integralmannigfaltigkeiten \(M_p\), die ein zu \(E_p^0\) benachbartes Tangentialelement besitzen, lassen sich dann in der Form \[ z_i=f_i(z_1,z_2,\dotsc,z_p)\quad (p<i\leqq n) \] darstellen, wobei \[ \begin{matrix} \l &\r & & &\r &\quad \l \\ f_i(z_1,&z_2,&\dotsc,&z_{p-1}&,z_p)&(p<i\leqq r_p+p),\\f_i(z_1,&z_2,&\dotsc,&z_{p-1}&,0)&(r_p<i\leqq r_{p-1}+p-1),\\ \hdotsfor 5&\innerhdotsfor 1\after \quad \\f_i(z_1,&0,&\dotsc,&0&,0)&(r_2+2<i\leqq r_1+1),\\ f_i(0,&0,&\dotsc,&0&,0)&(r_1+1<i\leqq r_0)\end{matrix} (***) \] willkürlich vorgeschrieben werden können, vorausgesetzt, daß die Werte dieser Funktionen für \((z)=(0)\) genügend klein sind und die Formen \[ df_i(z_1,z_2,\dotsc,z_\nu,0,\dotsc,0)\quad (r_{\nu +1}+\nu +1\leqq i<r_\nu +\nu ) \] für \((z)=(0)\) zu den entsprechenden Pfaffschen Formen \[ \sum \limits _{k=1}^\nu l_{ik}^0dz_k \] hinreichend benachbart sind. Durch die Daten (***) ist \(M_p\) eindeutig bestimmt. Dabei hat man unter einer regulären Kette von Integralelementen eine auf \(E_p^0\) liegende Folge regulärer Integralelemente \[ E_0^0,E_1^0,\dots,E_{p-1}^0 \] zu verstehen, deren jedes im folgenden enthalten ist: \(E_i^0\subset E_{i+1}^0\). (\(E_p^0\) braucht dabei selbst nicht regulär zu sein.) Dann entspricht einer solchen Folge eine Folge ganzer Zahlen \[ r_1,r_2,\dotsc,r_{p-1},r_p\quad (\text{``charakteristiche Zahlen'')} \] derart, daß druch \(E_{i-1}^0\infty ^{r_i}\) Integral-\(E_i\) hindurchgehen, d. h. das Polarelement \(H(E_{i-1}^0)\) die Dimension \(r_{i+1}\) hat.
Für die Anwendung des zweiten Existenztheorems kommt es wesentlich auf die Kenntnis eines Konstruktionsverfahrens regulärer Integralketten und die Bestimmung ihrer charakteristischen Zahlen an. Vielfach kann jedoch ein \(E_p\) überhaupt nicht durch eine reguläre Kette erreicht werden. Hier bringt, wie in diesem Rahmen nur andeutungsweise erwähnt werden kann, die auf É. Cartan, zurückgehende Theorie sogenannter “verlängerter Systeme” [Ann. Éc. Norm. (3) 21, 153–206 (1904; JFM 35.0176.04)] die Entscheidung: Nach endlich vielen Schritten gelangt man durch den (wiederholten) Verlängerungsprozeß entwerden zum Nachweis der Nichtexistenz einer Integral-\(M_p\) der verlangten Art oder zu einem System, das den Voraussetzungen der Existenzsätze entspricht. Nach einigen Anwendungen der Theorie z. B. auf vollständig integrable Pfaffsche Systeme, auf die Differentialgleichungen der charakteristischen Flächen im Raum zweiter komplexer Variablen und auf partielle Systeme zweiter Ordnung gibt schließlich Verf. in eienem Anhang noch einen kurzen Abriß der Lieschen Gruppentheorie mit demselben konzentrierten, eleganten und weittragenden Formalismus, der im vorhergehenden so erfolgreich und erschöpfend dazu gedient hat, eine so große Lücke in der deutschen mathematischen Literatur auszufüllen.

MSC:

34-01 Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to ordinary differential equations