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Existenz separabler zyklischer unverzweigter Erweiterungskörper vom Primzahlgrade \(p\) über elliptischen Funktionenkörpern der Charakteristik \(p\). (German) JFM 60.0910.02
Die genannten Erweiterungskörper - kurz als \(p\)-Körper bezeichnet werden in echte und unechte eingeteilt, und zwar heißt ein \(p\)-Körper echt, wenn er nicht durch eine zyklische Erweiterung \(p\)-ten Grades des als vollkommen vorausgesetzen Konstantenkörpers \(k\) entsteht. Unter der Voraussetzung, daß \(p \neq 2\) ist und der elliptische Funktionenkörper \(K\) einen Primdivisor \(\mathfrak {D}\) ersten Grades besitzt, wird gezeigt, daß echte \(p\)-Körper dann und nur dann existieren, wenn eine gewisse Invariante \(A\) von \(K\), die ein Element von \(k\) ist, \(\neq 0\) und eine \((p-1)\)-te Potenz in \(k\) ist, und daß, wenn ein echter \(p\)-Körper existiert, alle anderen nur von diesem und den unechten Körpern abhängen. - Ist \(y^2 = f(x)\) die zu \(\mathfrak {D}\) gehörige \(K\) erzeugende Normalform, so ist \(\frac {dx}{y}\) ein Differential erster Gattung. Für die Differentailgleichung \(\frac {dx}{y} = du\) mit der Bedingung \(u \equiv 0 \mod \mathfrak {D}\) läßt sich dann eine \(\mathfrak {D}\)-adische Näherungslösunmg in \(K\) angeben. Es gibt nämlich ein \(u\) in \(K\), so daß \(\frac {1}{y} \frac {dx}{du} \equiv 1 \mod \mathfrak {D}^{p-1}, u \equiv 0 \mod \mathfrak {D}\) ist, und zwar ist \(u\) Primelement für \(\mathfrak {D}\). Die Invariante \(A\) erhält man dann aus \(\frac {1}{y} \frac {dx}{du} \equiv 1 + Au^{p-1} \mod \mathfrak {D}^p.\)

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Full Text: Crelle EuDML