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Die irreduziblen Darstellungen der symmetrischen Gruppe. (German) JFM 61.0109.02

Ausgehend von der von I. Schur und Frobenius herrührenden Charakteristikentheorie entwickelt Verf. ein Verfahren zur Konstruktion aller irreduziblen Darstellungen der Gruppe \(\mathfrak S_n\) aller Permutationen von \(n\) Symbolen; zu jeder Zerlegung von \(n\), \[ n=\mu _1+\mu _2+\cdots +\mu _r \qquad (\mu _1\geqq \mu _2\geqq \cdots \geqq \mu _r >0), \] in positive ganzzahlige Summanden werden endlich viele Polynome \(d_1,d_2,\ldots \) von \(n\) Variablen \(x_1,\ldots,x_n\) angegeben, welche eine ganzzahlige lineare Substitution erleiden, wenn die Argumente \(x_1,\ldots,x_n\) permutiert werden; und zwar derart, daß diese linearen Substitutionen eine irreduzible Darstellung von \(\mathfrak S_n\) bilden, und daß zwei verschiedenen Zerlegungen von \(n\) zwei nicht ähnliche Darstellungen entsprechen. Die Definition der \(d_\varkappa \) ist handlich und bei kleineren Graden zur rechnerischen Herstellung der Darstellungen geeignet.
Die genannten Eigenschaften des Polynomsystems \(d_\varkappa \) lassen sich, wie Verf. nachträglich zeigt, auch ohne Charakteristikentheorie und mit wenig Darstellungs theorie nachweisen. Man hat hier also einen recht elementaren Zugang zu den irreduziblen Darstellungen der \(\mathfrak S_n\).

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Full Text: DOI EuDML