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Über das Reziprozitätsgesetz in relativ-zyklischen algebraischen Funktionenkörpern mit endlichen Konstantenkörpern. (German) JFM 61.0121.03
Die Arbeit beschäftigt sich vorwiegend mit dem Normenrestsymbol und dem Potenzrestsymbol für den Grad \(p\) über einem algebraischen Funktionenkörper \(K\) mit endlichem Konstantenkörper \(k\) der Charakteristik \(p\). Sie knüpft an eine Arbeit des Ref. an (Journ. f. Math. 172 (1934), 37-54; JFM 60.0097.*). Verf. betrachtet zunächst die zyklischen Algebren \((B, A]= K (u, v)\) vom Grade \(p\) über \(K\), definiert durch \[ u^p-u=A,\quad v^p=B,\quad v^{-1}uv=u+1, \] und beweist für sie neben der bekannten Regel \[ (B_1B_2,A] \sim (B_1,A]\,(B_2,A] \] deren Gegenstück \[ (B, A_1+A_2] \sim (B,A_1]\,(B,A_2]. \] Daraus ergeben sich die entsprechenden Regeln für das Normenrestsymbol \( \Bigl(\frac {B,A}{\mathfrak p}\Bigr]\) nach einem Primdivisor \(\mathfrak p\) von \(K\). Das Hauptresultat der Arbeit ist die explizite Bestimmung dieses Normenrestsymbols durch die Formel \[ \Bigl(\frac {B,A}{\mathfrak p}\Bigr] = e\Bigl(\varrho _{\mathfrak p}\Bigl(A\frac {dB}{B}\Bigr)\Bigr), \;\;\text{wo}\;\;e(a)=e^{\frac {2\pi i}{p}\mathfrak S(a)} \text{ \;für }a \text{ \;in } k. \] Hier bezeichnet \(\varrho _{\mathfrak p}\) das Residuum an der Primstelle \(\mathfrak p\) (siehe Arbeit des Ref: Theorie der Differentiale in algebraischen Funktionenkörpern mit vollkommenem Konstantenkörper, Journ. f. Math. 172 (1934), 55-64; F. d.M. 60\(_{\text{II}}\), und \(\mathfrak S\) die absolute Spur in \(k\). Diese Formel zusammen mit dem vom Ref. l. c. bewiesenen Residuensatz liefert einen neuen Beweis für das Reziprozitätsgesetz bei Grad \(p\) in der Produktform \( \prod _{\mathfrak p}\Bigl(\frac {B,A}{\mathfrak p}\Bigr]=1\). Daraus leitet Verf. weiter das folgende Reziprozitätsgesetz der Potenzreste bei Grad \(p\) her \[ \Bigl(\frac {A}{\mathfrak b}\Bigr) \Bigl(\frac {B}{\mathfrak a}\Bigr)^{-1} \prod _{\mathfrak p/f_B}\Bigl(\frac {A,B}{\mathfrak p}\Bigr] \prod _{\mathfrak p/f_A}\Bigl(\frac {B,A}{\mathfrak p}\Bigr]^{-1}. \] Dabei bezeichnen \(f_A\), \(f_B\) die Führer der durch \(u^p-u=A\), \(B\) definierten zyklischen Körper über \(K\), und \(\mathfrak a\), \(\mathfrak b\) die zu \(f_A\), \(f_B\) primen Bestandteile von \(A\), \(B\). Zum Schluß wird noch auf die Berechnung des Normenrestsymbols im Falle eines zu \(p\) primen Beweises eingegangen. (III 7.)

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