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Eine arithmetische Eigenschaft der Taylor-Koeffizienten rationaler Funktionen. (German) JFM 61.0176.02
Während man bisher nur für die rationalen Funktionen dritter Ordnung herausfinden konnte, welche es sind, die unendlich viele verschwindende Taylorkoeffizienten – vgl. übrigens die Bemerkung am Schluß dieser Besprechung – haben (C. Siegel, Tôhoku math. Journ. 20 (1921), 26-31; M. Ward, Math. Z. 39 (1934), 211-214; F. d. M. 48, 329 (JFM 48.0329.*); 60\(_{\text{II}}\)), beweist Verf. in dieser Arbeit den folgenden allgemeineren Satz: Wenn die rationale Funktion \[ R(Z) =\sum\limits_{x=0}^\infty G(x)Z^x \] lauter algebraische Taylorkoeffizienten besitzt und hiervon unendlich viele verschwinden, so gibt es eine natürliche Zahl \(r\) und hierzu höchstens \(r\) nicht negative ganze rationale Zahlen \(r_1, r_2,\ldots, r_\varrho\), die zu je zweien inkongruent mod \(r\) sind, derart, daß alle Taylorkoeffizienten \(G(x)\), deren Index \(x\) zu einer der arithmetischen Reihen \[ x\equiv r_\tau \;(\text{mod } r), \;x\geqq r_\tau \qquad (\tau = 1,2,\ldots,\varrho) \] gehört und außerdem nur noch höchstens endlichviele weitere verschwinden.
Von diesem Satze macht er eine Anwendung auf rekurrierende Reihen mit algebraischen Gliedern; er leitet eine hinreichende Bedingung ab, damit in einer solchen Reihe jedes Glied nur höchstens endlich oft vorkommt. Um den Satz zu beweisen, benutzt er eine Methode, die auf einer neuen Anwendung der \(p\)-adischen Zahlen auf diophantische Probleme beruht und vom Ref. in der Arbeit “Einige Sätze über gewisse Reihenentwicklungen und exponentiale Beziehungen mit Anwendung auf diophantische Gleichungen” (Skrifter Oslo, 1933, No. 6; JFM 59.0935.*) veröffentlicht worden ist. Auf den ersten fünf Seiten entwickelt Verf. im wesentlichen einige der Ergebnisse des Ref. in jener Arbeit; er betrachtet aber allgemeiner die \(\mathfrak{p}\)-adische Erweiterung \(\mathfrak{K_p}\) eines beliebigen algebraischen Zahlkörpers \(\mathfrak{K}\), wobei \(\mathfrak{p}\) ein Primideal darin ist. Während Ref. in der zitierten Arbeit seine Methode noch bloß auf rein exponentielle Gleichungen angewendet hat, betrachtet Verf. die Funktionen der Form \(\sum\limits_{j=1}^m A_j^xP_j(x)\), wo die \(A_j\) nicht verschwindende algebraische Zahlen und die \(P_j(x)\) nicht identisch verschwindende Polynome mit algebraischen Koeffizienten sind. Für diese Funktionen beweist er den folgenden Satz:
Wenn die Funktion \[ F(x) = \sum\limits_{j=1}^m A_j^xP_j(x) \] für unendlich viele nichtnegative ganze rationale Zahlen \(x = x_i\) verschwindet, so gibt es eine natürliche Zahl \(r\) und endlich viele Zahlen aus der Folge \(0, 1,\ldots, r-1\), etwa \(r^{(1)}, r^{(2)},\ldots, r^{(\varrho)}\), die alle von einander verschieden sind, so daß \(F(x)\) an allen Stellen \[ r^{(1)} + rz, r^{(2)}+rz,\ldots, r^{(\varrho)}+rz \qquad (z=0,1,2,\ldots) \] und außerdem nur noch an höchstens endlich vielen weiteren nicht-negativen ganzen rationalen Stellen gleich Null ist. – Hieraus folgt leicht die Richtigkeit der Behauptung über die Taylorkoeffizienten der rationalen Funktionen \(R(Z)\). Denn \(R(Z)\) kann als Quotient zweier Polynome mit algebraischen Koeffizienten geschrieben werden so, daß die Pole von \(R(Z)\) auch algebraisch sind, und aus der Partialbruchzerlegung folgt dann, daß die Taylorkoeffizienten \(G(x)\) für genügend großes \(x\) gleich einer Funktion \[ F(x) = \sum\limits_{j=1}^m A_j^xP_j(x) \] der erwähnten Beschaffenheit sein müssen. Wenn nun in der Gleichung \[ R(Z) = \sum\limits_{x=0}^\infty G(x)Z^x \] \(G(x)\) stets \( = 0\) ist, wenn \(x\equiv r^*\) (mod \(r\)), \(x\geqq r^*\geqq 0\), so muß \(\sum\limits_{\lambda = 0}^{r-1}e^{-\tfrac{2\pi i}{r}r^*\lambda}R\left(e^{\tfrac{2\pi i}{r}\lambda}Z\right)\) ein Polynom sein. Sind dann \(\zeta_1,\ldots,\zeta_n\) die im Endlichen gelegenen Pole von \(R(Z)\), so muß zu jedem \(\zeta_\mu\) ein \(\zeta_{\nu_\mu}\) mit \(\nu_\mu \neq\mu\) existieren derart, daß \(\dfrac{\zeta_\mu}{\zeta_{\nu_\mu}}\) eine \(r\)-te Einheitswurzel ist, da sonst die Pole der verschiedenen Funktionen \(R\left(e^{\tfrac{2\pi i}{r}\lambda}Z\right)\) einander nicht aufheben könnten. Hieraus leitet Verf. weiter ab, daß wenn für \(n = 1\) der einzige Pol keine Einheitswurzel ist, und für \(n\geqq 2\) einer der Pole, etwa \(\zeta_1\), keine Einheitswurzel ist und mit den übrigen Polen Verhältnisse \[ \dfrac{\zeta_2}{\zeta_1},\ldots,\dfrac{\zeta_n}{\zeta_1} \] bildet, die keine Einheitswurzeln sind, so gibt es nur endlich viele Taylorkoeffizienten, die den gleichen Wert haben. Sind alle Taylorkoeffizienten \(H(x)\) ganz algebraisch und ist \(H'(x)\) das Maximum der Absolutbeträge von \(H(x)\) und den dazu konjugierten, so wächst \(H'(x)\) für \(x\to\infty\) über alle Grenzen. Dies enthält also eine Aussage über das Wachstum der Glieder von rekurrierenden Reihen mit algebraischen Elementen.
Zum Schlüsse zeigt Verf., daß der Satz über die Funktionen \(\sum\limits_{j=1}^m A_j^xP_j(x)\) auch auf andere Taylorkoeffizienten anwendbar ist als diejenigen der rationalen Funktionen. Als Beispiel erwähnt er die Taylorkoeffizienten der Funktionen der Form \(\sum\limits_{j=1}^m A_j(Z)e^{A_jZ}\), wo die \(A_j(Z)\) nicht identisch verschwindende Polynome mit algebraischen Koeffizienten sind.
Ref. möchte darauf aufmerksam machen, daß er auf dem 8. skandinavischen Mathematikerkongreß in Stockholm im August 1934 einen Vortrag gehalten hat, worin er schon ähnliche Sätze über die rekurrierenden Reihen mittels seiner Methode bewiesen hat. Dieser Vortrag ist inzwischen erschienen (8. Skand. Mat. Kongr. Stockhohn 1934, 163-188; F. d. M. 61\(_{\text{II}}\)). Allerdings hat Ref. sich dort auf Reihen mit rationalen Gliedern beschränkt.

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