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On the strong derivatives of functions of intervals. (English) JFM 61.0255.02
Die Arbeit enthält zwei getrennte Ergebnisse, die sich auf die “starke” Ableitung \[ F^*(P)= \lim_{\delta(J)\to 0} \frac{F(J)}{|J|}, \qquad P\subset J, \] einer Intervallfunktion \(F(J)\) beziehen. Im eindimensionalen Falle fällt die starke Ableitung mit der gewöhnlichen zusammen.
A: Es sei \(p \geqq 2\). \(\sigma (t)\) sei eine beliebige für \(t> 0\) definierte Funktion mit \(\liminf\limits_{t\to \infty} \sigma(t) = 0\). Dann gibt es in dem Intervall \(J_0: 0 \leqq x_i \leqq 1\), \(1 \leqq i \leqq p\), eine nicht negative meßbare Funktion \(\varphi(x_i)\), so daß \(\sigma(|\varphi|)\, |\varphi|\,\overset{+}{\log}^{p-1} |varphi|\) in \(J_0\) summierbar ist und daß für das unbestimmte Integral \(\_varPhi (J)\) von \(\varphi\) überall in \(J_0\) die Gleichung \(\overline{\varPhi}^*(x_i) = +\infty\) gilt (\(\overline\varPhi^*\) ist die obere starke Ableitung).
Dieser Satz verallgemeinert ein früheres Resultat des Verf. (Fundamenta Math. 22 (1934), 257-261; F. d. M. \(60_{\text{I}}\), 219) und ist im wesentlichen die bestmögliche Aussage (vgl. die vorstehend besprochene Arbeit von Jessen, Marcinkiewicz und Zygmund).
B: \(\varphi(x_i)\) sei meßbar in \(J_0\). Dann gibt es zu jedem \(\varepsilon > 0\) eine additive stetige Intervallfunktion \(\varPhi(J)\) mit \[ \varPhi^*(x_i)= \varphi (x_i) \quad \text{ fast überall in }\quad J_0, \] für deren totale Variation in \(J_0\) die Ungleichung \[ V(\varPhi; J_0) \leqq (1 + \varepsilon) \int\limits_{J_0} |\varphi|\, dx_1 \cdots dx_p \] gilt.
(Für den Fall \(p = 1\) vgl. Lusin, Ann. di Mat. (3) 26 (1917), 77-129; F. d. M. 46, 391 (JFM 46.0391.*).) (IV 3 B.)

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