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Variationsrechnung und partielle Differentialgleichungen erster Ordnung. (German) JFM 61.0547.01
407 S. 31 Fig. Leipzig, B. G. Teubner (1935).
Das Werk unterscheidet sich von den andern Büchern über Variationsrechnung dadurch, daß der Zusammenhang zwischen den Differentialgleichungen der Variationsrechnung und den linearen partiellen Differentialgleichungen scharf herausgearbeitet und geradezu zum Ausgangspunkt für die Variationsrechnung gemacht wird. Demnach wird zunächst die Theorie der Differentialgleichungen dargestellt. Es gelingt Verf., auf 160 Seiten die Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen, der partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung, Charakteristikentheorie und Poissonsche Klammern, kanonische Transformation, Berührungstransformation, Pfaffsches Problem, sowie die Integrationstheorien von Lagrange, Jacobi, Mayer und Lie in ihren Grundzügen zu entwickeln.
Nach einem Kapitel über Maxima und Minima wird sodann mit Variationsproblemen im Kleinen begonnen. In Rücksicht auf die Anwendungen in der Mechanik wird das Variationsproblem im \((n + 1)\)-dimensionalen Raum \[ I=\int\limits_{t_1}^{t_2}L(t,x_1,x_2,\ldots,x_n, \dot x_1,\dot x_2,\ldots,\dot x_n)dt \] betrachtet. Die Behandlungsweise weicht von der sonst üblichen wesentlich ab und sei daher kurz geschildert: Eine Kurve \(x_i(t)\) mit stetigem \(\dot x_i(t)\) heißt Extremale, wenn es zwei Werte \(t_1 < t_2\) gibt, derart, daß das Integral \(I\) zwischen diesen Werten \(t_1\), \(t_2\) längs \(x_i(t)\) einen kleineren (größeren) Wert hat, als längs jeder anderen Kurve \(\bar x_i\), die dieselben Anfangsund Endpunkte wie \(x_i(t)\) hat und in einer engeren Nachbarschaft von \(x_i\) liegt, d. h. für die gilt: \[ |x_i(x)-\bar x_i(x)|<\varepsilon,\qquad \left|\frac{d\bar x_i}{dt}-\dot x_i\right|<\eta. \] Je nachdem das Zeichen \(\leqq \) oder \(\geqq\) steht, bezeichnet Verf. die Extremale als “Minimale” bzw. “Maximale”. Die Linienelemente \((t, x^0_k, \dot x_k^0)\) werden in positiv (negativ) reguläre, positiv (negativ) singuläre und irreguläre eingeteilt, je nachdem die quadratische Form \[ Q=L_{\dot x_i\dot x_j}(t_0,x^0_k,\dot x^0_k)\xi_i\xi_j \] positiv (negativ) definit, positiv (negativ) semidefinit, bzw. indefinit ist. Notwendig, dafür, daß durch ein Linienelement eine Extremale gehen kann, ist, daß es regulär oder wenigstens singulär sei. Von jetzt ab wird die Betrachtung auf reguläre Linienelemente von \(L(t, x_i, \dot x_i)\) beschränkt. Man sucht nun eine Funktion \(S (t, x_j)\) und \(n\) Funktionen \(\psi_i(t, x_j)\) so zu bestimmen, daß der Ausdruck \[ L^* (t, x_i, \dot x_i) = L(t, x_, \dot x_i) - S_t - S_{x_i}\dot x_i \] für \(\dot x_i=\psi(t,x_j)\) identisch verschwindet, für alle andern \(\dot x_i\) mit hinreichend kleinem \(|\dot x_i - \psi_i|\) aber positiv ausfällt. Dann ist offenbar für alle Vergleichskurven \(x_i\) \[ \int\limits_{t_1}^{t_2} L(t,x_i,\dot x_i)dt\geqq S_{(t,x_i)}\Bigr|_{t_1}^{t_2}, \] und die Gleichheit besteht nur dann, wenn identisch in \(t \dot x_i(t) =\psi_i(t,x_j(t))\) gilt. Somit liefern die Lösungen dieses Gleichungssystems Minimalen. Die genannte Forderung für \(S\) und \(\psi_i\) ist offenbar damit identisch, daß \(L^*\) für \(\dot x_i = \psi_i(t,x_j)\) das Minimum Null hat. Dies führt aber auf die fundamentalen Gleichungen \[ \begin{matrix}\l\\ S_{x_i}=L_{\dot x_i}(t,x_j,\psi_j),\\ S_t=L(t,x_j,\psi_j)-\psi_i L_{\dot x_i}(t,x_j,\psi_j). \end{matrix} \tag{1} \] Von hier gelangt man aber unmittelbar zur Weierstraßschen \(\mathcal E\)-Funktion, wenn man diese Ausdrücke in \(L^*\) einsetzt. Zur Behandlung der Gleichungen (1) wird jetzt die Hamiltonsche Funktion eingeführt. Dazu setze man \[ y_i=L_{\dot x_i}(t,x_j,\dot x_j) \] und löse diese Gleichungen nach \(\dot x_j\) auf: \[ \dot x_j= \varphi_j(t,x_i,y_i). \] Mit den so erklärten \(\varphi_j\) ist nun die Hamiltonsche Funktion durch \[ H (t, x_i, y_i) = - L(t, x_j, \varphi_j) + y_k\varphi_k(t, x_j, y_j) \] definiert. In den “kanonischen Koordinaten” \(x_i\), \(y_i\) gehen also die Gleichungen (1) über in \[ \begin{aligned} &y_i=S_{x_i}(t,x_j),\\ &S_t=-H(t,x_i,y_i), \end{aligned} \] woraus folgt, daß \(S\) der Hamiltonschen partiellen Differentialgleichung \[ S_t + H(t,x_i,S_{x_i}) = 0 \] genügen muß. Kennt man aber umgekehrt eine Lösung \(S\) dieser Gleichung und setzt \[ \psi_i(t,x_j) = H_{y_i}(t,x_j,S_{x_j}), \] so sind die Gleichungen (1) erfüllt, und die Lösungen von \[ \dot x_i=H_{y_i}(t,x_j, S_{x_j}) \tag{2} \] sind Minimalen des Variationsproblems. Es wird noch gezeigt, daß man so alle regulären Extremalen des Variationsproblems erhält. Aus den im ersten Abschnitt entwickelten Sätzen über partielle Differentialgleichungen erschließt man aber, daß die Lösungen von (2) aus dem System \[ \dot x_i=H_{y_i}(t,x_j,y_j), \quad \dot y_i=-H_{x_i}(t,x_j,y_j) \] entnommen werden können, welches, wie man durch Elimination von \(y_i\) erkennt, nichts anderes als das System der Eulerschen Gleichungen \[ \frac{d}{dt}L_{\dot x_i}-L_{x_i}=0 \] ist.
Sodann werden Variationsprobleme in Parameterdarstellung betrachtet und die Folgerungen aus den vorigen Untersuchungen gezogen, die sich aus der Homogenitätsrelation ergeben. Insbesondere werden die analogen Resultate für starke Minima hergeleitet. Es folgen Untersuchungen über positiv definite Variationsprobleme. Die zweite Variation wird, im wesentlichen nach den Gedankengängen von Bliss, mit Hilfe des “akzessorischen Variationsproblems” behandelt.
Sodann wendet sich Verf. zu Variationsproblemen im Großen, wo also nicht mehr hinreichend kurze Extremalenbögen untersucht werden, sondern Vergleichskurven zwischen festen Endpunkten Gegenstand der Betrachtung sind. Zunächst wird eine Reihe von klassischen Beispielen behandelt. Insbesondere wird nochmals die Bedeutung der regulären Linienelemente klargestellt. Nach dem Vorgang von Hilbert werden sodann die Existenzsätze für das absolute Minimum in bemerkenswert einfacher Weise aus den vorher entwickelten Sätzen im Kleinen hergeleitet.
Geschlossene Extremalen und periodische Variationsprobleme werden nach Hadamard und Razmadzé behandelt. Im letzten Kapitel wird, methodisch nach denselben Gesichtspunkten wie bei den Aufgaben ohne Nebenbedingung, das Lagrangesche Problem untersucht. Auch ein Abriß über das isoperimetrische und Mayersche Problem fehlt nicht.
Besprechung: J. Radon, Jahresbericht 45 (1935), 145-147 kursiv.