Zur Theorie der Markoffschen Ketten. (German) JFM 61.0563.03

Kolmogoroff, A.

Math. Ann. 112, 155-160 (1935).

\(P_{ij}(t, s)\) sei für ein physikalisches System die Wahrscheinlichkeit dafür, daß unter Voraussetzung des Zustandes \(E_i\) im Zeitpunkt \(t\) der Zustand \(E_j\) im Zeitpunkt \(s\) auftreten wird. Verf. fragt: Ist es möglich, bei gegebenen Übergangswahrscheinlichkeiten \(P_{ij}(t, s)\) auch “absolute” Wahrscheinlichkeiten der Realisierung verschiedener Zustände für jeden Zeitpunkt \(t\) einzuführen? Beginnt der Prozeß der Änderung des Systems im Zeitpunkt \(t_0\), so können Wahrscheinlichkeiten \(Q_k (t_0)\) vorgeschrieben werden und die \(Q_k(t)\) sind für \(t\geqq t_0\) eindeutig festgelegt. Auch wenn kein bestimmter Anfang des Prozesses vorausgesetzt wird, gilt: Bei beliebigen \(P_{ik}(t, s)\) (\(t \leqq s\)) lassen sich mindestens in einer Weise mit diesen verträgliche absolute Wahrscheinlichkeiten für \(-\infty<t<+\infty\) bestimmen.
Für eindeutige Bestimmtheit der \(Q_k(t)\) ist notwendig und hinreichend, daß \[ \lim_{t\to-\infty} P_{ik}(t,s)= Q_k^*(s)\qquad \text{(\(k\) fest, \(s\) fest)} \] unabhängig von \(i\) ist. Die \(Q_k^*(s)\) bilden dann das gesuchte einzige System.
Ist \(Q_k(s) >0\), dann läßt sich die “umgekehrte” Wahrscheinlichkeit \[ \varPi_{ik}(t,s)=\dfrac{Q_i(t)}{Q_k(s)}P_{ik}(t,s) \] bestimmen dafür, daß im Zeitpunkt \(t\) der Zustand \(E_i\) besteht unter der Voraussetzung, daß in einem späteren Zeitpunkt \(s\) (\(s\geqq t\)) der Zustand \(E_k\) beobachtet worden ist. Unter der Voraussetzung, daß die Funktionen \(P_{ik}\) und \(\varPi_{ik}\) nur von der Differenz ihrer Argumente abhängen, \[ P_{ik} (s,t)= P_{ik}(t -s), \quad \varPi_{ik}(s,t)=\varPi_{ik}(t-s), \] wird für das Bestehen der Gleichung \(\varPi_{ik}(r)=P_{ki}(r)\) eine notwendige und hinreichende Bedingung gegeben. Es folgt eine Anwendung auf die Untersuchung der Umkehrbarkeit der statistischen Naturgesetze.

Reviewer: Schulz, Günther, Dr. (Berlin)

JFM Section:

Erster Halbband. Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 16. Wahrscheinlichkeitsrechnung mit Anwendungen. Wirtschaftsmathematik.

References:

[1]	Berliner Berichte 1931, S. 144.
[2]	R. v. Mises, Wahrscheinlichkeitsrechnung (1931), § 16.