×

zbMATH — the first resource for mathematics

A combinatorial problem in geometry. (English) JFM 61.0651.04
Verf. betrachten ebene Mengen von Punkten, von denen keine drei auf einer Geraden liegen, und geben zwei verschiedene Beweise für den Satz: Zu jeder positiven ganzen Zahl \(n \geqq 3\) gibt es eine ebensolche Zahl \(N (n)\) von der Eigenschaft, daß jede Menge von \(N\) Punkten die Ecken mindestens eines konvexen \(n\)-Ecks enthält.
Jede Zahl \(N'>N (n)\) hat natürlich dieselbe Eigenschaft. Bezeichnet man die kleinste Zahl \(N (n)\) mit \(N_0(n)\), so ist, wie schon bekannt, \(N_0(3) =3\), \(N_0(4) = 5\), \(N_0(5) = 9\). Beide Beweise zeigen nicht nur die Existenz von \(N (n)\) auf, sondern liefern auch die Möglichkeit, zu gegebenem \(n\) eine Zahl \(N (n)\) obiger Eigenschaft zu ermitteln; jedoch sind die so gefundenen Werte von \(N (n)\) nicht die kleinstmöglichen. Der erste Beweis ist rein kombinatorischer Natur und läßt eine Verallgemeinerung auf beliebig viele Dimensionen zu. Er beruht wesentlich auf einem Satz von F. P. Ramsey [Proc. Lond. Math. Soc. (2) 30, 264–286 (1929; JFM 55.0032.04)], für den T. Skolem einen neuen Beweis gegeben hat [Fundam. Math. 20, 254–261 (1933; JFM 59.0054.01)], und den die Verf. nochmals mit einer gewissen Verschärfung beweisen. Für den zweiten Beweis obigen Satzes, dem die Lösungen zweier ähnlicher Probleme vorangestellt sind, werden teils geometrische, teils kombinatorische Betrachtungen herangezogen.

MSC:
51-XX Geometry
PDF BibTeX XML Cite
Full Text: EuDML