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Die Funktionentheorie der Differentialgleichungen \(\varDelta u = 0\) und \(\varDelta\varDelta u = 0\) mit vier reellen Variablen. (German) JFM 61.1131.05
Es sei \(z=x_0+x_1 i+x_2 j+x_3 k\) eine Quaternion. Verf. betrachtet zwei Klassen von Funktionen \(w = f (z) = u_0 + u_1 i + u_2 j + u_3 k\) und \(W = F (z)\) von \(z\).
Bei den Funktionen der ersten Klasse genügen \(u_0\), \(u_1\), \(u_2\), \(u_3\) einem gewissen System von linearen partiellen Differentialgleichungen (vgl. auch Moisil, Bull. Sc. math. (2) 55 (1931), 168-174; JFM 57.0343.*). Alle Funktionen dieser Klasse genügen der vierdimensionalen Laplaceschen Differentialgleichung \(\varDelta u = 0\). Jede Lösung der Gleichung \(\varDelta u = 0\) kann als “Realteil” einer Funktion dieser Klasse auftreten. Die Funktionen \(W\) der zweiten Klasse sind solche, bei denen \(\varDelta W\) eine Funktion der ersten Klasse ist.
Für diese beiden Klassen von Funktionen leitet Verf. Sätze ab, die dem Cauchyschen Integralsatz, der Taylorschen Entwicklung, dem Liouvilleschen Satz und anderen entsprechen.

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