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Sur le principe du minimum. (French) JFM 61.1258.01

Es handelt sich um den Nachweis der Existenz einer Lösung der Differentialgleichung \[ \dfrac{\partial}{\partial x}\left(p\dfrac{\partial u}{\partial x}\right) + \dfrac{\partial}{\partial y}\left(p\dfrac{\partial u}{\partial y}\right) + \dfrac{\partial}{\partial z}\left(p\dfrac{\partial u}{\partial z}\right) - qu = 0, \] wo \[ 0 < \alpha < p < \beta, \;q\geqq 0, \] mittels des verallgemeinerten Dirichletschen Prinzips, also um die Aufgabe, eine quasiharmonische Funktion zu finden, die das dreifache Integral \[ \iiint p\left(\left(\dfrac{\partial f}{\partial x}\right)^2 + \left(\dfrac{\partial f}{\partial y}\right)^2 + \left(\dfrac{\partial f}{\partial z}\right)^2 + q\, f^2\right)\, d\tau \] zu einem Minimum macht. Die Hilfsmittel der Arbeit bilden die abstrakten Räume von Hilbert und die von Beppo Levi in das Studium des Dirichletschen Problems eingeführten Funktionen; als Zusatzbedingungen sind solche der Stetigkeit und der Konvexität eingeführt.

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