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Zur Theorie der Semi-Invarianten. (German) JFM 62.0074.01
Es wird eine Gleichung angegeben, mit Hilfe deren aus \(m\) Semiinvarianten \(I_1,\ldots \!, I_m\) einer binären Grundform \(p\)-ter Ordnung \(f\) eine Semiinvariante \(\{ I_1,\ldots \!, I_m \}\) in Gestalt einer Determinante gewonnen werden kann. Durch Spezialisierung \((m = 2, \, I_2 = a_0)\) ergibt sich daraus der \(\varTheta\)-Prozeß \(\varTheta(I)=(I, \, a_0)\! : \! p\,(p-1)!\, (\eta-1)!\), der aus einer Semiinvariante \(I\) vom Exzeß \(\eta\) eine neue vom Exzeß \(\eta+p-2\) herleitet. Dabei wird \(\varTheta(I)\) bis auf einen Zahlenfaktor das Leitglied der ersten Überschiebung \((f,\, F)^{(1)}\) der Grundform \(f\) mit der Kovariante \(F\), die zum Leitgliede \(I\) gehört. Setzt man: \[ O=pa_1\frac{\partial}{\partial a_0}+(p-1)\,a_2 \frac{\partial}{\partial a_1} + \cdots + a_p \frac{\partial}{\partial a_{p-1}}, \] so wird \(\varTheta=a_0 \, O - \eta a_1\). Über diesen Operator \(\varTheta\) gelten folgende Sätze: (1) Ist \(I = P\) eine projektive Invariante, so wird \(\varTheta(P)=0\). (2) Gilt für einen Gradienten \(G\) die Gleichung \(\varTheta(G)=0\), so folgt \(G=a_0^{\sigma} \cdot G_0\), wo \(G_0\) einen Gradienten vom Exzeß \(\eta_0=0\) bedeutet. (3) Gilt für einen Gradienten \(G\) die Beziehung: \(\varTheta(G)=I \neq 0\), so ist \(G\) eine Semiinvariante.
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