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Verschränkte Produkte mit Normalringen. (German) JFM 62.0099.03
Verf. gibt eine Verallgemeinerung der von E. Noether geschaffenen Theorie der verschränkten Produkte.
Es sei \(\mathfrak S\) ein kommutatives, halbeinfaches hyperkomplexes System über dem Grundkörper \(P\), das in die direkte Summe der Körper \(\mathfrak S_1,\ldots, \mathfrak S_h\) zerfällt. Kann zu \(\mathfrak S\) eine Gruppe \(\mathfrak G\) aus endlich vielen Ringautomorphismen \(\sigma,\tau,\ldots\) des Systems \(\mathfrak S\), die jedes Element aus \(P\) identisch auf sich abbilden, so gefunden werden, daß \(\mathfrak G(1)\) neben dem Einheitselement kein \(\sigma\) enthält, das einen der Körper \(\mathfrak S_i\) identisch (d. h. elementweise) auf sich abbildet, (2) zu jedem Paar von Körpern \(\mathfrak S_i\), \(\mathfrak S_j\) der Serie \(\mathfrak S_1,\ldots,\mathfrak S_h\) mindestens ein \(\sigma\) umfaßt, das \(\mathfrak S_i\) in \(\mathfrak S_j\), überführt, und daß (3) für \(s\in\mathfrak S\) aus einer für alle Elemente \(\sigma\) von \(\mathfrak G\) geltenden Gleichung \(s^\sigma = s\) stets \(s\in P\) folgt, so soll \(\mathfrak S\) bezüglich \(\mathfrak G\) ein Normalring heißen.
Ist \(\mathfrak S\) bezüglich \(\mathfrak G\) Normalring, so wird zu \(\mathfrak S\) und \(\mathfrak G\) ein verschränktes Produkt \(\mathfrak A\) definiert. Zu diesem Zweck wird nach dem Vorbild der E. Noetherschen Theorie jedem \(\sigma\in\mathfrak G\) ein Symbol \(u_\sigma\), jedem Paar \(\sigma\), \(\tau\) von Elementen aus \(\mathfrak G\) ein Element \(a_{\sigma,\tau}\) aus \(\mathfrak S\) so zugeordnet, daß \[ a_{\varrho,\sigma}\cdot a_{\varrho\sigma,\tau}=a^\varrho_{\sigma,\tau} \cdot a_{\varrho,\sigma\tau} \tag{*} \] gilt, und schließlich die Menge \(\mathfrak A\) aller Summen von der Form \(\sum\limits_{\sigma\in\mathfrak G} s_\sigma u_\sigma\) mit \(s_\sigma\in\mathfrak S\) gebildet, in der vermöge der Festsetzungen \[ \begin{aligned} &\sum s_\sigma u_\sigma+\sum t_\sigma u_\sigma=\sum(s_\sigma+t_\sigma)u_\sigma, \\ &\left(\sum s_\sigma u_\sigma\right)\left(\sum t_\tau u_\tau\right)= \sum s_\sigma t^\sigma_\tau a_{\sigma,\tau} u_{\sigma\tau} \end{aligned} \] eine Addition und Multiplikation erklärt wird; hierdurch wird die Menge \(\mathfrak A\), die Verf. kurz mit \((a_{\sigma,\tau},\mathfrak S, \mathfrak G)\) bezeichnet, wegen der Relationen (*) zu einem Ring und zwar -wie Verf. insbesondere zeigt -sogar zu einem einfachen hyperkomplexen System, dessen Zentrum mit dem Grundkörper \(P\) übereinstimmt.
Für die so definierten Normalringe und verschränkten Produkte werden folgende Sätze bewiesen: (1) Ist \(\mathfrak S=\mathfrak S_1+\mathfrak S_2+\cdots+\mathfrak S_h\) bezüglich \(\mathfrak G\) Normalring und \(\mathfrak G_i\) die Gruppe aller \(\sigma\) aus \(\mathfrak G\), welche \(\mathfrak S_i\) (nicht notwendig elementweise) auf sich abbilden, so ist auch \(\mathfrak S_i\) bezüglich \(\mathfrak G_i\) Normalring; außerdem ist \(\mathfrak S_i\) eine separable galoissche Erweiterung von \(P\) und \(\mathfrak G_i\) die galoissche Gruppe von \(\mathfrak S_i\). Schließlich ist das verschränkte Produkt \((a_{\sigma,\tau}, \mathfrak S, \mathfrak G)\) mit dem speziellen \((a^{(i)}_{\sigma,\tau},\mathfrak S_i, \mathfrak G_i)\) im R. Brauerschen Sinne äquivalent (d. h. in derselben Algebrenklasse enthalten); \(a^{(i)}_{\sigma,\tau}\) bedeutet dabei die \(\mathfrak S_i\)-Komponente von \(a_{\sigma,\tau}\) bei der Zerlegung \(\mathfrak S=\mathfrak S_1+\cdots+\mathfrak S_h\). (2) Bei Übergang von \(P\) zu einem beliebigen Erweiterungskörper \(\varOmega\) ist mit \(\mathfrak S\) auch \(\mathfrak S_\varOmega\) bezüglich \(\mathfrak G\) Normalring und \((a_{\sigma,\tau},\mathfrak S,\mathfrak G)_\varOmega\) mit \((a_{\sigma,\tau},\mathfrak S_\varOmega,\mathfrak G)\) isomorph. (3) Sind \(\mathfrak S'\) und \(\mathfrak S''\) über demselben Grundkörper \(P\) Normalringe bezüglich \(\mathfrak G'\) und \(\mathfrak G''\), so ist auch \(\mathfrak S'\times \mathfrak S''\) bezüglich \(\mathfrak G'\times\mathfrak G''\) Normalring und \((a_{\sigma,\tau},\mathfrak S',\mathfrak G') \times (b_{\sigma,\tau},\mathfrak S'',\mathfrak G'')\) mit \((a_{\sigma,\tau}\cdot b_{\sigma,\tau},\mathfrak S'\times\mathfrak S'', \mathfrak G'\times\mathfrak G'')\) isomorph.
Zum Schluß wird noch an einigen Beispielen gezeigt, daß mit Hilfe dieser Resultate in dem von E. Noether behandelten Spezialfall Vereinfachungen ermöglicht werden.
Reviewer: Fitting, H., Dr.

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