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An inequality of the Hölder type, connected with Stieltjes integration. (English) JFM 62.0250.02
Den Ausgangspunkt bildet die Bemerkung, daß es bei gegebenen komplexen Zahlen \(a_1,\ldots,a_n, \;b_1,\ldots,b_n\) und \(p > 0, q > 0\) stets einen Index \(k\) gibt, so daß \[ |a_kb_k|\leqq \biggl[\dfrac1n\sum|a_i|^p\biggr]^{\tfrac1p} \biggl[\dfrac1n\sum|b_i|^q\biggr]^{\tfrac1q} \] ist. Hierauf wird ein Beweis der Hölderschen sowie der folgenden Ungleichung gegründet: Es sei \(S_{p,q} (a, b)\) der größte Wert des Produkts \[ \biggl(\sum_{k=1}^m |x_k|^p\biggr)^{\tfrac1p} \biggl(\sum_{k=1}^m |y_k|^q\biggr)^{\tfrac1q}, \] wo \(x_1,\ldots, x_m\) und \(y_1,\ldots, y_m\) aus den Folgen \(a_1,\ldots, a_n\) und \(b_1,\ldots, b_n\) hervorgehen, indem man einzelne der Kommata durch das Pluszeichen (und zwar bei beiden Folgen an denselben Stellen) ersetzt. Dann ist für \(p > 0, q > 0, \dfrac1p+\dfrac1q> 1\) \[ |\underset{0<r\leqq s\leqq n}{\sum\sum} a_rb_s| \leqq \biggl\{1+\zeta\biggl(\dfrac1p+\dfrac1q\biggr)\biggr\}\cdot S_{p,q}(a,b). \] Diese Ungleichung wird verwendet, um Ungleichungen über Summen herzuleiten, deren Glieder aus den Werten zweier Funktionen \(f (x), g (x)\) in Teilpunkten des Definitionsintervalls gebildet sind.
Nach N. Wiener wird in Verallgemeinerung des bekannten Begriffs der Variation das Schwankungsmittel \(p\)-ter Ordnung einer Funktion \(f (x)\) durch \[ V_p (f) =\overline{\text{fin}} [\sum_\nu|f(x_\nu) -f(x_{\nu-1})|^p]^{\tfrac1p} \] eingeführt; dabei sind die \(x_\nu\) beliebig gewählte Teilpunkte des Intervalls \(a, b\). Hat \(V_p(f)\) einen endlichen Wert, so wird \(f\) zur Wienerschen Klasse \(W_p\) gerechnet. Diese Klasse ist von Bedeutung für die Theorie der Stieltjes-Integrale und Fourier-Reihen. Wird \[ \int\limits_a^b f(x)dg(x) \] ein Stieltjes-Integral im Riemannschen Sinne mit dem Wert \(I\) genannt, wenn es zu jedem \(\varepsilon > 0\) ein \(\delta > 0\) gibt, so daß \[ \biggl|\sum_{\nu=1}^n f(\xi_\nu)[g(x_\nu)-g(x_{\nu-1})]-I\biggr|<\varepsilon \] für alle Einteilungen \(a = x_0 \leqq \xi_1\leqq x_1\leqq \cdots \leqq \xi_n\leqq x_n=b\) mit \(|x_\nu-x_{\nu-1}|<\delta\) ist, so gilt der Existenzsatz: Das Integral existiert sicher, wenn \(f (x)\) zur Klasse \(W_p, g (x)\) zur Klasse \(W_q\) gehört, \(p > 0, q > 0,\dfrac1p+\dfrac1q > 1\) ist und \(f, g\) keine gemeinsamen Unstetigkeitsstellen haben. – Der Klasse \(W_p\) wird eine Klasse \(W_p^*\) zur Seite gestellt, die zu einem entsprechenden Existenzsatz für Stieltjes-Integrale im Sinne von Moore-Pollard führt.
Unter einer \(W_p\)-Folge \(\{f_n (x)\}\) im Intervall \(\langle a, b \rangle\) wird eine Folge von Funktionen \(f_1(x), f_2(x), \ldots\) verstanden, für die \(f_n(a)\) und \(V_p(f_n)\) beschränkte Funktionen von \(n\) sind. Eine solche Folge heißt dicht konvergent (densely convergent) in \(\langle a, b\rangle\) mit der Limesfunktion \(f (x)\), wenn \(f_n(x)\) für jeden Punkt einer in \(\langle a, b\rangle\) überall dichten Menge gegen \(f (x)\) konvergiert. Man kann dann \(f (x)\) in den nicht zu dieser dichten Menge gehörenden Punkten so definieren, daß die Funktion der Klasse \(W_p\) angehört.
Satz über gliedweise Integration: Es sei \(\{f_n\}\) eine \(W_p\)-Folge, die in \(\langle a, b\rangle \) dicht konvergiert gegen eine Funktion \(f(x)\) der Klasse \(W_p\) und gleichmäßig in der Menge \(A\) konvergiert. Es sei weiter \(\{g_n\}\) eine \(W_q\)-Folge, die in \(\langle a, b\rangle\) dicht (und auch in den Endpunkten selber) gegen eine Funktion \(g(x)\) der Klasse \(W_q\) konvergiert und gleichmäßig in der Menge \(B\) konvergiert. Es enthalte schließlich \(B\) die Unstetigkeitspunkte von \(f\) und \(A\) diejenigen von \(g\), und es sei \(A + B = \langle a, b\rangle\), \(p > 0\), \(q > 0\), \(\dfrac1p + \dfrac1q > 1\). Dann ist \[ \lim_{n\to\infty}\int_a^b f_ndg_n = \int_a^b fdg. \]
Es folgen Sätze über Fourierreihen, zunächst einer über das Schwankungsmittel von Fourierkernen. Weiter: Gehört \(f(x)\) zur Klasse \(W_p\) und hat \(f\) die Periode \(2\pi\), so sind die Fourierkoeffizienten \(O\bigg(n^{-\tfrac1p+\varepsilon}\bigg)\), die Fourierreihe und ihre Cesàroschen Mittel der Ordnung \(>-\dfrac1p\) konvergieren an jeder Stelle \(x\) gegen \[ \tfrac12\big(f(x + 0) + f(x-0)\big), \] an jeder Stetigkeitsstelle ist die Konvergenz gleichmäßig. Gehören die reellen Funktionen \(f(x)\), \(g(x)\) mit der Periode \(2\pi\) den Klassen \(W_p\), \(W_q\) mit \(p > 0\), \(q > 0\), \(\dfrac1p+\dfrac1q> 1\) an und haben die Funktionen die Fourier-Koeffizienten \(a_n\), \(b_n\) und \(a_n'\), \(b_n'\), so konvergiert \(\sum\pi n(a_nb_n'- a_n'b_n)\), und zwar gegen \[ \int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x)dg(x), \] wenn \(f\) und \(g\) keine gemeinsamen Unstetigkeitsstellen haben (Satz von Parseval). Für mancherlei Verallgemeinerungen sei auf die Arbeit selber verwiesen. (IV 1, 3 D.)

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