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Sur l’allure des fonctions analytiques au voisinage des singularités essentielles. (French) JFM 62.0387.01

\(\zeta(z)\) sei in \(D\) eindeutig und meromorph und habe auf dem Rande eine wesentliche Singularität \(S\) (Punkt oder Linie); \(\varDelta\) sei das \(D\) entsprechende Gebiet der zu \(z(\zeta)\) gehörigen Riemannschen Fläche. Unter allgemeinen Bedingungen, die auf das Vorhandensein einer Zerlegung von \(\varDelta\) in Blätter zurückgehen, werden Sätze bewiesen, die zum Teil folgendermaßen ausgesprochen werden können: Es seien \(T\) und \(A\) die Anzahlen transzendenter bzw. algebraischer Verzweigungspunkte von höherer als zweiter Ordnung auf dem Rande bzw. im Inneren von \(\varDelta\), und entsprechend seien \(a\) und \(t\) in Beziehung auf nur ein Blatt von \(\varDelta\) definiert; \(E\) sei die Anzahl der Ausnahmewerte von \(\zeta(z)\) in bezug auf \(D\) und \(T(\omega)\) die Anzahl transzendenter Verzweigungspunkte auf dem Rande von \(\varDelta\), die dem Ausnahmewert \(\omega\) entsprechen. (1) Ist für jedes Blatt von \(\varDelta\) \(t > 1\) und ist für unendlich viele Blätter \(t > 2\) oder \(a > 0\), dann ist \(T = \infty\). Ist außerdem \(E > 0\), so ist auch \(T(\omega) = \infty\) für jeden Ausnahmewert \(\omega\). (2) Ist \(E > 1\) und \(T\) oder \(A = \infty\), dann ist \(T(\omega) = \infty\) für jedes \(\omega\). (3) Ist \(E > 2\), dann ist \(T =\infty\) und \(T(\omega)=\infty\) für jedes \(\omega\). (4) Ist \(E=2\) und enthält \(D\) die ganze Umgebung von \(S\), so ist \(T =\infty\) oder eine gerade Zahl.
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Full Text: Numdam EuDML