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La topologie des groupes de Lie. (Exposés de géométrie Nr. 8.). (French) JFM 62.0441.03

Actual. sci. industr. 358, 28 p (1936).
Die beiden gleichlautenden Arbeiten geben den Inhalt eines Genfer Vortrages wieder. Nach einleitenden allgemeinen Bemerkungen werden die kompakten Gruppen und insbesondere die einfachen kompakten Gruppen betrachtet. Hier findet sich ein Beweis des Satzes, daß jede Gruppe, bei der die Cartansche Form \(\varphi (e)\) definit ist, eine kompakte Gruppe ist. Ferner wird bewiesen, daß die ersten beiden Bettischen Zahlen einer Gruppe mit definitem \(\varphi (e)\) Null sind. Für offene Gruppen beweist Verf. den Satz: Der Gruppenraum einer einfach zusammenhängenden offenen Gruppe ist das topologische Produkt eines euklidischen Raumes und eines oder mehrerer Räume einfacher kompakter Gruppen.
Für offene einfache Gruppen wird bewiesen, daß die erste Bettische Zahl den Wert 0 oder 1 hat. Aus diesem Satz läßt sich die wichtige Bemerkung ableiten, daß nicht alle einfachen offenen Gruppen sich treu durch Matrizen darstellen lassen. Beispiel: Die einfach zusammenhängende Überlagerungsgruppe der reellen projektiven Gruppe in einer Variabeln.
Wichtig ist auch ein Beweis für die Umkehrung des dritten Lieschen Fundamentalsatzes im großen: Zu jeder Lieschen Infinitesimalgruppe läßt sich eine einfach zusammenhängende Gruppenmannigfaltigkeit (im großen) angeben. Der Beweis stützt sich auf folgenden Hilfssatz: Ist \(G\) eine Infinitesimalgruppe der Ordnung \(r + n\), die eine invariante abelsche Untergruppe \(g\) der Ordnung \(n\) besitzt, und gilt für die Infinitesimalgruppe \(G/g\) der eben genannte Satz, so gilt er auch für \(G\).
Am Schluß findet sich ein Bericht über neuere Untersuchungen (Cartan, Ann. Soc. Polonaise Math. 8 (1930), 181-225; Pontrjagin, On Betti numbers of compact Lie’s groups, C. R. Acad. Sci. URSS 1935\(_{\text{I}}\), 433-437; ferner C. R. Acad. Sci., Paris, 200 (1935), 1277-1280; R. Brauer, C. R. Acad. Sci., Paris, 201 (1935), 419-421; F. d. M. 56I, 371-372; 61\(_{\text{II}}\) und 61\(_{\text{I}}\), 475; 61\(_{\text{I}}\), 476) über die Bettischen Zahlen kompakter Liescher Gruppen.