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Les problèmes non linéaires. (French) JFM 62.0456.01
Inhaltsangabe eines Vortrags innerhalb eines von der Universität Genf veranstalteten Zyklus über partielle Differentialgleichungen
I. Allgemeines über nichtlineare Funktionalgleichungen.
Es handelt sich um ein Problem (Funktionalgleichung), bei dem die Unbekannte ein Punkt in einem abstrakten Banachschen Raum ist. Grundlegend für den Beweis der Lösungsexistenz von Funktionalgleichungen ist die Übertragung des von Brouwer für den endlich-dimensionalen euklidischen Raum geschaffenen Begriffs “topologischer Grad einer Abbildung” (Anzahl der Überdeckungen eines Bildpunktes). Nicht für jede Abbildung, aber wenigstens für Abbildungen der Gestalt \(y = x + F(x)\), wo \(F(x)\) vollstetig ist, läßt sich dieser Begriff auf den Funktionalraum übertragen (Schauder). Der Überdeckungsgrad in einem Punkt \(b\) bleibt konstant, wenn man die Abbildung, ihren Definitionsbereich \(D\) (Rand \(D'\)) und \(b\) stetig so ändert, daß \(b\) den Rand \(D'\) nicht überschreitet. Läßt sich nun eine Funktionalgleichung \(x + F(x) = 0\) als Endglied einer stetigen Kette von Gleichungen \(x + F (x, k) = 0\) (\(0 \leqq k \leqq 1\)) auffassen: \(F(x,1) \equiv F(x)\), an deren Anfang eine einfache, leicht überschaubare Gleichung steht, z. B. \(F(x,0) \equiv 0\), erreicht ferner keine der Lösungen den Rand \(D'\) und ist schließlich der Überdeckungsgrad der Abbildung \(y = x + F (x, 0)\) im Punkte \(y = 0\) von 0 verschieden, so ist er das auch für \(y = x + F (x)\), d. h. \(x + F (x) = 0\) besitzt mindestens eine Lösung (Grundgedanke der Arbeit von Leray und Schauder, Ann. sci. Ecole norm. sup. 51 (1934), 45-78; JFM 60.0322.*-324). Spezialfall: Ist \(D\) eine große Kugel, so ist die Gleichung \(x + F (x) = 0\) lösbar, wenn man sie stetig etwa auf die Gleichung \(x = 0\) zurückführen kann, ohne daß die eventuellen Lösungen beliebig groß werden (Existenzbeweis durch Majorisieren der Lösung: Leray, J. Math. pur. appl. (9) 12 (1933), 1-82 (JFM 59.0402.*-403, Kap. I).
II. Elliptische Differentialgleichungen zweiter Ordnung.
Gesucht wird eine Lösung der Gleichung \[ A\left(x,y,z,\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}\right)\frac{\partial^2z}{\partial x^2} + 2B(\ldots) \frac{\partial^2z}{\partial x\partial y} + C(\ldots)\frac{\partial^2z}{\partial y^2} = D(\ldots), \] die auf dem Rand \(\varDelta'\) eines Gebietes \(\varDelta\) vorgegebene Werte annimmt; dabei sei \[ AC - B^2 > 0. \] Ist nun \(z(x,y)\) irgendeine Funktion, so betrachtet man die Funktion \(Z(x,y)\), die auf \(\varDelta'\) die gegebenen Werte annimmt und in \(\varDelta\) die Gleichung \[ A\left(x,y,z,\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}\right)\frac{\partial^2Z}{\partial x^2} + 2B(\ldots) \frac{\partial^2Z}{\partial x\partial y} + C(\ldots)\frac{\partial^2Z}{\partial y^2} = D(\ldots) \] befriedigt. \(Z\) ist ein Funktional \(F(z)\) von \(z\), und das obige Problem läuft auf die Lösung der Funktionalgleichung \(z=F(z)\) hinaus. Unter Heranziehung der modernsten Ergebnisse über lineare elliptische Differentialgleichungen gelingt es zu zeigen, daß \(F\) vollstetig und die unter I. entwickelte Theorie anwendbar ist, woraus ein Existenzsatz folgt, wenigstens für \(D\equiv 0\), ein Fall, der z. B. die Gleichung der Minimalflächen umfaßt. Die Hauptschwierigkeit liegt in der Majorisierung der zweiten Ableitungen. Die Ergebnisse bedeuten einen wesentlichen Schritt über die von S. Bernstein hinaus.
III. Die Navierschen Gleichungen.
Es werden einige Ergebnisse in der Theorie der zähen Flüssigkeiten angedeutet, bei denen im Falle von drei räumlichen Dimensionen die Begriffsbildungen der reellen Funktionentheorie hereinspielen (Maß usw.). (IV 13, VI 4 B.)

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