×

zbMATH — the first resource for mathematics

Courbes minimisantes non rectifiables et champs généraux de courbes admissibles dans le calcul des variations. (French) JFM 62.0571.01
In einem abgeschlossenen beschränkten Bereich \(D\) eines euklidischen Raumes, dessen Punkte mit \(p,q,\ldots\) bezeichnet seien, und für alle Richtungen \(\vartheta\) sei eine Funktion \(f(p, \vartheta)\) erklärt, die stetig und quasi-regulär sei, wobei letztere Eigenschaft bedeutet: \[ f(p,\vartheta_{pq})d(p,q)+f(p,\vartheta_{qr})d(q,r)\geqq f(p,\vartheta_{pr})d(p,r). \] (\(d(p, q)\) ist die Länge, \(\vartheta_{pq}\) die Richtung des Vektors von \(p\) nach \(q\).) Für alle rektifizierbaren Kurven \(C\) kann man dann ein verallgemeinertes Kurvenintegral \(l(C,f)\) als Grenzwert von Summen der Form \[ \sum f(p_i,\vartheta_i)d(p_i,p_{i+1}) \] definieren, wo \((p_1,\ldots, p_r)\) ein \(C\) eingeschriebenes Polygon, \(\vartheta_i\) die Richtung der Seite \((p_i,p_{i+1})\) bedeutet. Innerhalb jeder “vollständigen” Familie rektifizierbarer Kurven existiert dann das Minimum von \(l(C,f)\), wenn die Bedingung \((\varLambda)\) erfüllt ist: für jedes \(\lambda\) ist die Länge der rektifizierbaren Kurven \(C\) mit \(l (C, f)\geqq\lambda\) beschränkt.
Es handelt sich nun darum, diese Bedingungen so zu erweitern, daß auch nichtrektifizierbare Kurven in die Behandlung einbezogen werden können. Dazu wird die neue Voraussetzung eingeführt, daß das Minimum \(g(p)\) von \(f(p, \vartheta) + f(p, - \vartheta)\) (bei festem \(p\)) in allen Punkten von \(D\) positiv sei. Sie hat zur Folge, daß \(l(C,f)\) für alle Kurven \(C\) existiert (\(=\infty\), wenn \(C\) nicht rektifizierbar). Ersetzt man dann die Bedingung \((\varLambda)\) durch eine der beiden folgenden, die gleichwertig sind:
\((\varLambda_0)\): die Länge der rektifizierbaren Kurven \(C\) mit \(l(C, f)\leqq 0\) ist beschränkt,
\hangindent 4em \((K):\) aus jeder Kurvenfolge, für die \(l(C_n, f)\) beschränkt ist, läßt sich eine konvergente Teilfolge auswählen,
so existiert das Minimum von \(l(C, f)\) in jeder “vollständigen” Kurvenfamilie (die nicht nur aus rektifizierbaren Kurven zu bestehen braucht).
Wenn endlich die Bedingung \(g (p) > 0\) auf einer Menge vom linearen Maß Null nicht erfüllt ist, bleibt der Existenzsatz bestehen, und das Minimum kann jetzt sogar von einer nicht-rektifizierbaren Kurve geliefert werden. Die Bedingung \((K)\) läßt sich dabei durch handlichere hinreichende Bedingungen ersetzen.
Zum Schluß werden Verallgemeinerungen hinsichtlich der vorausgesetzten Räume und der Stetigkeitsbedingungen erwähnt.

PDF BibTeX XML Cite