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Singular quadratic functionals. (English) JFM 62.0577.02

Die Verf. suchen die Methoden der Variationsrechnung auf den Fall singulärer Endpunkte auszudehnen und untersuchen folgenden Sonderfall: \[ I_{a,b}=\int\limits_a^b(p(x)y^2+2q(x)yy'+r(x)y^{\prime2})dx, \] wo die reellen Funktionen im (offenen) Intervall \((0, d)\) als stetig angenommen werden. Indem zunächst \(b\) (zwischen 0 und \(d\)) fest gewählt wird, werden Bedingungen dafür gesucht, daß \[ \liminf_{a\to 0} I_{\alpha,\beta}\geqq 0 \] für alle \(y (x)\), die den folgenden Bedingungen genügen:
1) \(y (x)\) stetig für \(0\leqq x\leqq b\), \(y(0) = y (b)= 0\).
2) \(y(x)\) ist absolut stetig und \(y^{\prime2}\) summierbar in jedem abgeschlossenen Teilintervall von \(0 < x\leqq b\).
Dieser Sachverhalt wird kurz so formuliert: Das Segment \(0 \leqq x \leqq b\) der \(x\)-Achse liefert ein Grenzminimum (minimum limit) für \(I\) bezüglich der \(A\)-zulässigen Kurven \(y (x)\).
Es werden notwendige und hinreichende Bedingungen für die Existenz des Grenzminimums untersucht; zu den naheliegenden Verallgemeinerungen der vom nichtsingulären Fall bekannten Bedingungen tritt eine wesentlich neue, die als “Singularitätsbedingung” bezeichnet wird und das singuläre Ende \(x=0\) betrifft. In dem wichtigen Sonderfall des Integrals \[ \int (x^\alpha g(x)y^{\prime 2}-x^{\alpha-2}h(x)y^2)dx \tag{*} \] (\(\alpha\) reell, \(g (x) > 0\) sowie \(h (x)\) als analytisch für \(0\leqq x < d\) vorausgesetzt) erhält die Extremalengleichung in \(x = 0\) eine Stelle der Bestimmtheit, und die Bedingungen des Grenzminimums lassen sich besonders einfach formulieren. Für diesen Sonderfall werden auch noch andere Klassen zulässiger Kurven betrachtet, die einerseits mehr, anderseits weniger umfassend sind als die der \(A\)-zulässigen Kurven, wobei die Bedingungen für ein Grenzminimum sich zum Teil wesentlich ändern.
Schließlich gelangt der Fall zweier singulärer Enden zur Behandlung, bei dem Bedingungen, die gleichzeitig notwendig und hinreichend für ein Grenzminimum sind, nur im Fall eines Integrals aufgestellt werden, das bezüglich beider Enden die Form (*) aufweist.

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References:

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