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Die Determinantenideale eines Moduls. (German) JFM 62.1104.02
\(\mathfrak M\) sei ein Rechtsmodul in bezug auf einen kommutativen Ring \(\mathfrak v\) mit Einheitselement, welches Einheitsoperator für \(\mathfrak M\) sei. Jedes Element aus \(\mathfrak M\) möge sich als lineare Kombination \(\alpha_1c_1 + \cdots + \alpha_s c_s\) endlich vieler Elemente \(\alpha_1, \dots, \alpha_s\) aus \(\mathfrak M\) mit Koeffizienten \(c_\sigma\) aus \(\mathfrak v\) darstellen lassen. Lineare Unabhängigkeit der Basis \(\alpha_1, \dots, \alpha_s\) in bezug auf \(\mathfrak v\) wird nicht verlangt. \(\mathfrak A\) sei die Menge aller \(s\)-reihigen quadratischen Matrizen \((a_{\mu\nu})\) mit Koeffizienten aus \(\mathfrak v\), für welche gilt: \[ \sum_{\sigma = 1}^s \alpha_\sigma a_{\sigma \nu} = 0 \qquad (\nu = 1, \dots, s). \] Für \(\varkappa < s\) verstehe man unter dem \(\varkappa\)-ten Determinantenideal \(\mathfrak d_\varkappa (\mathfrak M)\) der Basis \(\alpha_1, \dots, \alpha_s\) dasjenige Ideal von \(\mathfrak v\), welches von allen \((s - \varkappa)\)-reihigen Unterdeterminanten aller Matrizen von \(\mathfrak A\) erzeugt wird. Für \(\varkappa \geqq s\) sei \(\mathfrak d_\varkappa(\mathfrak M)\) das Einheitsideal.
Als Hauptsatz beweist Verf., daß die Determinantenideale unabhängig sind von der Wahl der Basis \(\alpha_1, \dots, \alpha_s\), mit deren Hilfe sie definiert worden waren.
Unter dem annullierenden Ideal \(\mathfrak m\) von \(\mathfrak M\) verstehe man die Menge aller \(a \subset \mathfrak v\), für die mit beliebigem \(\alpha \subset \mathfrak M\) gilt \(\alpha a = 0\). Ist \(r\) der Rang von \(\mathfrak M\) (d. h. die Elementezahl einer aus möglichst wenig Elementen bestehenden Basis), so gilt \(\mathfrak m^{r-\varkappa} \subseteqq \mathfrak d_\varkappa(\mathfrak M)\) und \(\mathfrak m^r \subseteqq \mathfrak d_0(\mathfrak M) \subseteqq \mathfrak m\).
Ist \(\mathfrak M = \mathfrak K_1 + \cdots + \mathfrak K_l\) eine Zerlegung von \(\mathfrak M\) als direkte Summe, so wird \(\mathfrak d_\varkappa (\mathfrak M)\) der größte gemeinsame Teiler aller Produkte \[ \mathfrak d_{\varkappa_1}(\mathfrak K_1) \cdots \mathfrak d_{\varkappa_l}(\mathfrak K_l) \qquad (0 \leqq \varkappa_\lambda \leqq \varkappa, \quad \varkappa_1 + \cdots + \varkappa_l = \varkappa). \] Insbesondere ist also \(\mathfrak d_0(\mathfrak M) = \mathfrak d_0(\mathfrak K_1)\) \(\cdots \mathfrak d_0(\mathfrak K_l)\). Umgekehrt entspricht jeder Darstellung \(\mathfrak d_0(\mathfrak M) = \mathfrak s_1 \cdots \mathfrak s_l\) als Produkt paarweise teilerfremder Faktoren eine direkte Zerlegung \(\mathfrak M = \mathfrak M_1 + \cdots + \mathfrak M_l\) mit \(\mathfrak d_0(\mathfrak M_\lambda) = \mathfrak s_\lambda\).
Für einen Untermodul \(\mathfrak U \subset \mathfrak M\) von endlichem Range gilt \(\mathfrak d_\varkappa(\mathfrak M) \subseteqq \mathfrak d_\varkappa(\mathfrak M/\mathfrak U)\), im allgemeinen ist jedoch \(\mathfrak d_\varkappa (\mathfrak U)\) kein Teiler von \(\mathfrak d_\varkappa (\mathfrak M)\). Es ist \(\mathfrak d_0(\mathfrak M/\mathfrak U) \cdot \mathfrak d_0(\mathfrak U) \subseteqq \mathfrak d_0 (\mathfrak M)\); ist \(\mathfrak U\) direkter Summand, so steht das Gleichheitszeichen.
Vom Typ einer gewöhnlichen abelschen Gruppe heißt \(\mathfrak M\), wenn \(\mathfrak M\) direkte Summe endlich vieler zyklischer Moduln ist und wenn jeder Untermodul eines zyklischen Moduls wieder zyklisch ist. Solche Moduln sind dadurch gekennzeichnet, daß in \(\mathfrak v/\mathfrak m\) jedes Ideal Hauptideal ist. In diesem Falle lassen sich die Determinantenideale einfach ausdrücken durch die Ordnungen der Basiselemente, die bei gewissen Zerlegungen von \(\mathfrak M\) als direkte Summe zyklischer Moduln auftreten. Für jeden Untermodul \(\mathfrak U\) gilt hier ferner \(\mathfrak d_\varkappa (\mathfrak M) \subseteqq \mathfrak d_\varkappa (\mathfrak U)\). Der Rang ist die kleinste Zahl \(r\), für die \(\mathfrak d_r (\mathfrak M)\) gleich dem Einheitsideal wird.
Hat \(\mathfrak v\) die Struktur der Hauptordnung eines algebraischen Zahlkörpers, so genügen schon, falls \(\mathfrak d_0(\mathfrak M)\) vom Nullideal verschieden ist, die \(\mathfrak d_\varkappa (\mathfrak M)\), um die Struktur von \(\mathfrak M\) zu bestimmen. Ist \(\mathfrak d_0 (\mathfrak M)\) das Nullideal, so ist noch die Klassenzugehörigkeit eines gewissen durch \(\mathfrak M\) bestimmten Ideals von \(\mathfrak v\) zu beachten. Auch hier gilt \(\mathfrak d_\varkappa (\mathfrak M) \subseteqq \mathfrak d_\varkappa (\mathfrak U)\) für jeden Untermodul \(\mathfrak U\), ferner \(\mathfrak d_0 (\mathfrak M/\mathfrak U) \cdot \mathfrak d_0 (\mathfrak U) = \mathfrak d_0 (\mathfrak M)\).
Schließlich werden Moduln betrachtet, in denen der Doppelkettensatz gilt. Auch hier ist der Rang gleich der kleinsten Zahl \(r\), für die \(\mathfrak d_r (\mathfrak M)\) gleich dem Einheitsideal wird. Ist \(\mathfrak M\) direkte Summe endlich vieler einfacher Moduln, so ist seine Struktur durch die Determinantenideale eindeutig bestimmt.

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Full Text: EuDML