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Theorie statisch unbestimmter Systeme aus ideal-plastischem Baustoff. (German) JFM 62.1547.01

Verf. nimmt einen ideal-plastischen Baustoff an, der im Gebiet kleiner Spannungen \(S\) dem Hookeschen Gesetz folgt, bei einer bestimmten Größe der Beanspruchung \(S = T\) oder \(S = T'\) aber fließt, d. h. hier können den konstanten Spannungen beliebige Formänderungen entsprechen. Wird durch Entlastung wieder \(T < S < T'\), so verhält sich der Körper wieder elastisch. Die Grenzspannungen sollen von \(\dfrac{ds}{dt}\) bzw. \(\dfrac{dS}{dt}\) nicht abhängen, und die Fließgeschwindigkeit \(\dfrac{dv}{dt}\) soll stets endlich sein und das gleiche Vorzeichen haben wie \(S = T\) oder \(S = T'\). Man hat so Gebiete, innerhalb welcher lineare Gleichungssysteme zur Bestimmung der Spannungen bestehen, für die aber die Koeffizientenmatrix verschieden ist. Sie haben die Form \[ \sum_k q_{ik}\varDelta v_k +\varDelta S_i = \varDelta B_i, \] wo bei \(\varDelta v = 0\) \(\varDelta S\) nicht das gleiche Vorzeichen wie \(S_0 = T\) oder \(S_0 = T'\) und bei \(\varDelta S = 0\) \(\varDelta v\) nicht entgegengesetztes Vorzeichen wie \(S_0 = T\) bzw. \(T'\) haben kann. In dieser Gleichung sind die \(q_{ik}\) die Stabkräfte im \(i\)-ten Stab bei unbelastetem System, falls nur der \(k\)-te Stab eine Längenänderung \(v_k = -1\) erfahren hat, \(S_i\) die im \(i\)-ten Stab infolge einer äußeren Belastung wirklich auftretenden Kräfte, während \(B_i\) diese Kräfte bei der gleichen Belastung unter Voraussetzung vollkommen elastischen Verhaltens des Materials sind. \(\varDelta\) bedeutet, daß die Unterschiede dieser Größen am Anfang und Ende einer Phase zu nehmen sind, d. h. eines Zeitabschnittes, in dem kein Übergang eines Stabes aus dem elastischen in den plastischen Zustand oder umgekehrt erfolgt. Aus diesem System bestimmen sich die \(\varDelta S\) eindeutig, falls es überhaupt eine Lösung des Systems gibt. Die Matrix der \(q_{ik}\) ist symmetrisch. Ferner erörtert Verf., welchen Einfluß es hat, ob diese Matrix positiv definit ist oder nicht. Im zweiten Falle sind die Verschiebungen nicht mehr eindeutig. Denkt man sich dann die Stäbe, für die \(S = T\) oder \(S = T'\) erreicht ist, durchschnitten und Mechanismen eingebaut, die die Verschiebung der Schnittufer nur in bestimmtem Sinne erlauben, so gibt es noch zwei Möglichkeiten, entweder ist jetzt das Fachwerk unverschieblich “selbstsperrend” oder noch immer verschieblich. Eine Diskussion der Zwangskräfte ergibt unter anderem eine Erklärung für eine Erscheinung, die man wohl als “Selbsthilfe des Materials” bezeichnet. Am Schluß gibt Verf. in allgemeiner Form einen einfachen Beweis eines Satzes von Bleich, der die Grundlage für die Bemessung statisch unbestimmter Systeme bei ideal-plastischem Verhalten des Baustoffes bildet.

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