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Arithmetische Eigenschaften einer Klasse von Dezimalbrüchen. (German) JFM 63.0156.01

In dieser interessanten Arbeit wird die Transzendenz einer neuen Klasse von Zahlen gezeigt. Sei \(f(k)\) ein ganzwertiges nichtkonstantes Polynom, das für \(k\geqq 1\) positiv ist. Dann bedeute \(\sigma\) beispielsweise den Dezimalbruch, der entsteht, wenn hinter dem Komma der Reihe nach nacheinander die dezimal dargestellten natürlichen Zahlen \(f(1)\), \(f(2)\), \(f(3)\), …aufgeschrieben werden. Statt Dezimalbrüchen können aber analog gebildete Brüche mit einer beliebigen Basis \(q\geqq 2\) untersucht werden. Es wird für alle Zahlen \(\sigma\) dieser Art bewiesen: \(\sigma\) ist transzendent, aber keine Liouville-Zahl. Der Beweis gelingt durch die Bildung der Zahlen, die sich als Grenzwert einer rasch konvergenten Folge von Brüchen, deren Nenner im wesentlichen reine Potenzen von \(q\) sind, darstellen lassen. Mittels eines Satzes des Ref. (J. reine angew. Math. 175 (1936), 182-192; JFM 62.0185.*) – siehe dazu auch eine frühere Arbeit des Verf. (Proc. Akad. Wet. Amsterdam 39 (1936), 633-640, 729-739; JFM 62.0186.*) – folgt daraus die Transzendenz von \(\sigma\). Um zu erkennen, daß \(\sigma\) keine Liouville-Zahl ist, wird ein Irrationalitätsmaß aus den Eigenschaften der Näherungsbrüche abgeleitet.

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