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Über das Anfangswertproblem für lineare und nichtlineare hyperbolische partielle Differentialgleichungen zweiter Ordnung. (Russian. German summary) JFM 63.0469.01
Verf. knüpft an an Arbeiten von Schauder (Fundam. Math., Warszawa, 24 (1935), 213-246; F. d. M. 61\(_{\text{I}}\), 541), der als erster das Anfangswertproblem für lineare und nichtlineare hyperbolische Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit drei und mehr unabhängigen Veränderlichen löste, und von Petrovsky (s. vorletztes Referat), der die Lösung für solche und allgemeinere Gleichungen durch ein praktisch verwendbares Lösungsverfahren gewinnt, welches darin besteht, daß der Unitätsbereich der Lösung in dünne Schichten zerlegt und die Gleichung in jeder Schicht angenähert durch eine lineare Gleichung ersetzt wird. Wenn man die Dicke dieser Schichten gegen null gehen läßt, erhält man die gesuchte Lösung. Verf. entwickelt die Lösung unter Benutzung der Methoden von Schauder und Petrovsky in dem Sinne weiter, daß erstens die Anzahl der notwendigen Ableitungen der Anfangsbedingungen verringert und zweitens das Eindeutigkeitsgebiet der Lösung näher bestimmt wird. Das Wesentliche dabei ist, daß auf die Existenz der Lösung überall verzichtet und nur ihr Vorhandensein fast überall (im Lebesgueschen Sinne) gefordert wird. Für die Existenz und Eindeutigkeit in diesem Sinne ist bei den linearen Gleichungen das Vorhandensein der ersten und zweiten Ableitungen auf der Anfangsfläche genügend. Mittels eines Hilfssatzes, der eine Verallgemeinerung des Weierstraßschen Approximationssatzes darstellt, beweist Verf. weiter, daß die Lösung durch Polynome approximiert worden kann, deren Koeffizienten aus der Minimumsbedingung für die Summe einer definiten quadratischen Form und einer Linearform bestimmt werden, so daß sich ein praktisches Näherungsverfahren ergibt.
Mit Hufe der Petrovskyschen Methode werden die Sätze dann angewandt auf die quasilineare Gleichung \[ \sum_{i,k=1}^n a^{ik} \frac{\partial^2 u}{\partial x_i \partial x_k}+f=0, \] wo die Koeffizienten \(a^{ik}\) und \(f\) von den unabhängigen Veränderlichen \(x_1, \ldots \!, x_n\), der gesuchten Funktion \(u\) und ihren Ableitungen \(\dfrac{\partial u}{\partial x_i}\) abhängen, und auf die allgemeine nichtlineare Gleichung \[ F\left( x_1, \ldots \!, x_n; \, u \frac{\partial u}{\partial x_1}, \ldots \!,\dfrac{\partial u}{\partial x_n}; \, \frac{\partial^2 u}{\partial x_1^2},\, \frac{\partial^2 u}{\partial x_1 \, \partial x_2}, \ldots \!, \frac{\partial^2 u}{\partial x_n^2} \right)=0 \] mit den Anfangsbedingungen \[ u=\varphi, \, \frac{\partial u}{\partial x_n} = \psi \] im Gebiete \(K_0\) der Ebene \(x_n = 0\). Existenz und Eindeutigkeit sowie stetige Abhängigkeit der Lösung von den Anfangsdaten und den Koeffizienten der Gleichung werden für ein Gebiet bewiesen, das begrenzt ist von zwei Ebenen \(x_n = 0\), \(x_n = l > 0\) und seitlich von der einen charakteristischen Fläche, die durch \(K_0\) geht.
Die Beweise sind teilweise nur angedeutet.

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