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On infinite soluble groups. I, II. (English) JFM 64.0066.01
I. Eine unendliche Gruppe \(\mathfrak G\) heißt auflösbar, wenn es eine mit \(\mathfrak G\) beginnende und mit dem Einheitselement schließende Kette von Untergruppen gibt, von denen jede ein Normalteiler der vorangehenden mit Abelscher Faktorgruppe ist. Aus dieser sehr allgemeinen Klasse von Gruppen umgrenzt der Verf. eine der Behandlung zugänglichere Teilklasse, die \(S\)-Gruppen, durch die Forderung, daß die erwähnten Abelschen Faktorgruppen endlich viele Erzeugenden besitzen sollen. Die Untergruppen einer \(S\)-Gruppe sind \(S\)-Gruppen und erfüllen die Maximalbedingung. Als Analogon der Kompositionsreihen betrachtet Verf. bei den \(S\)-Gruppen die \(A\)-Reihen, d. s. Ketten der oben erwähnten Art, bei denen die Faktorgruppen zyklisch von unendlicher oder Primzahlordnung sind. Ähnlich erklärt der Verf. die \(B\)-Reihen als Analogon zu den Hauptreihen. Für die zu den \(A\)- und \(B\)-Reihen gehörenden unendlichen Faktorgruppen wird ein Eindeutigkeitssatz bewiesen.
II. In \(S\)-Gruppen, deren aufsteigende Zentrenreihe mit der ganzen Gruppe abbricht, gilt das genaue Analogon zum Jordan-Hölderschen Satz für Kompositions- und Hauptreihen, wenn man sich auf kürzeste Reihen beschränkt. Die Elemente endlicher Ordnung bilden eine endliche Untergruppe. Eine Reihe von bekannten Sätzen über \(p\)-Gruppen läßt sich übertragen: über die auf- und absteigende Zentrenreihe, über den Normalisator einer eigentlichen Untergruppe, über den Durchschnitt aller maximalen Untergruppen u. a.

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