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Beiträge zur Theorie der Gruppen endlicher Ordnung. (German) JFM 64.0066.02
In dieser sehr klaren und ohne gruppentheoretische Einzelkenntnisse zu verstehenden Arbeit untersucht der Verf. die Hauptschritte des Weges, auf dem vom Standpunkt der Schreierschen Erweiterungstheorie aus das Strukturproblem der zusammengesetzten endlichen Gruppen zu lösen ist. Wie er selbst betont, hat die Arbeit insofern den Charakter eines Programms, als man über den Hauptbegriff der Erweiterungstheorie, die Faktorensysteme, zur Zeit noch zu wenig weiß. Von Schreiers Lösung des Erweiterungsproblems, die Gruppen \(\mathfrak G\) zu finden, die eine gegebene Gruppe \(\mathfrak N\) als Normalteiler mit gegebener Faktorgruppe \(\mathfrak F\) enthalten, gibt der Verf. eine neue Darstellung (§ 17, 21); sie hat den Vorzug, daß sie die Beantwortung der Frage ermöglicht, ob zwischen zwei nach dem angegebenen Verfahren konstruierten Gruppen \(\mathfrak G_1\), \(\mathfrak G_2\) überhaupt ein Isomorphismus hergestellt werden kann, der \(\mathfrak N_1\) und \(\mathfrak N_2\) als Ganze aufeinander bezieht. Bei der üblichen Erweiterungskonstruktion läßt sich unmittelbar nur entscheiden, ob zwischen \(\mathfrak G_1\) und \(\mathfrak G_2\) ein Isomorphismus besteht, der \(\mathfrak N_1 \longleftrightarrow \mathfrak N_2\) und \(\mathfrak F_1\longleftrightarrow \mathfrak F_2\) gemäß der von vornherein festliegenden Alibildung dieser Gruppenpaare aufeinander abbildet. Die Lösung des Verf. setzt naturgemäß die Kenntnis der Automorphismengruppen von \(\mathfrak N\) und \(\mathfrak F\) voraus.
Die Hauptpunkte bei der Lösung des Strukturproblems sind die folgenden: (1) Jede endliche Gruppe \(\mathfrak G\) besitzt einen eindeutig bestimmten umfassendsten auflösbaren Normalteiler \(\mathfrak S\). Seine Faktorgruppe \(\mathfrak H\) ist halbeinfach, d. h. sie besitzt keinen auflösbaren Normalteiler mehr. (2) Die halbeinfachen Gruppen \(\mathfrak H\) sind verhältnismäßig leicht zu überblicken. Man erhält jede genau einmal, wenn man alle Gruppen \(\mathfrak C\) bildet, welche direkte Produkte von nichtabelschen einfachen Gruppen sind, und in der Automorphismengruppe von \(\mathfrak C\) aus jeder Klasse ähnlicher, \(\mathfrak C\) enthaltender Untergruppen einen Vertreter \(\mathfrak H\) auswählt. (3) Jede auflösbare Gruppe \(\mathfrak S\) enthält einen eindeutig bestimmten umfassendsten “nilpotenten” Normalteiler \(\mathfrak N\) (d. h. \(\mathfrak N\) direktes Produkt von \(p\)-Gruppen). Die Tatsache, daß \(\mathfrak N\) seinen Zentralisator in \(\mathfrak S\) enthält, ermöglicht eine genaue Untersuchung der Verhältnisse, die bei der Erweiterung von \(\mathfrak N\) mit seiner Faktorgruppe auftreten.
Zum Schluß streift Verf. die Frage nach der Struktur der \(p\)-Gruppen und damit der nilpotenten Gruppen, indem er die Konstruktion der Gruppen mit gegebenem Zentrum und gegebener Faktorgruppe nach dem Zentrum bespricht.

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Full Text: EuDML