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A remark on representations of groups. (English) JFM 64.0069.02

Verf. überträgt einen Satz von Frobenius über Darstellungen endlicher Gruppen (Frobenius, S.-B. Preuß. Akad. Wiss. 1898, 501-515; F. d. M. 29, 102 (JFM 29.0102.*)) auf beliebige Gruppen. Bei beliebigen Gruppen \(\mathfrak g\) tritt an Stelle des Gruppenringes der Ring \(\mathfrak R_{\mathfrak g}\) der auf \(\mathfrak g\) fastperiodischen Funktionen, wobei als Produkt zweier Funktionen \(\varphi\) und \(\psi\) die gefaltete Funktion \(\varphi\times\psi\) zu gelten hat (J. v. Neumann, Trans. Amer. math. Soc. 36 (1934), 445-492; JFM 60.0357.*). Es sei \(\mathfrak h\subset \mathfrak g\) eine Untergruppe von \(\mathfrak g\) und \(\mathfrak R_{\mathfrak h}\) der Ring der fastperiodischen Funktionen auf \(\mathfrak h\). Ein minimales Linksideal \(\mathfrak n\) von \(\mathfrak R_{\mathfrak h}\) definiert uns eine irreduzible Darstellung \(\mathfrak d\) von \(\mathfrak h\). Es sei \(\mathfrak D\) eine irreduzible Darstellung von \(\mathfrak g\) und \(\mathfrak S\) das zu \(\mathfrak D\) gehörige zweiseitige Ideal von \(\mathfrak R_{\mathfrak g}\). Wir bezeichnen mit \(\mathfrak D(\mathfrak h)\) die Darstellung von \(\mathfrak h\), die aus denjenigen Matrizen aus \(\mathfrak D\) besteht, welche Elementen aus \(\mathfrak h\) zugeordnet sind. Wenn die Anzahl der zu \(\mathfrak d\) äquivalenten irreduziblen Bestandteile von \(\mathfrak D(\mathfrak h)\) etwa \(g\) ist, dann besteht auch die durch die \(\mathfrak S\)-Komponente \(\mathfrak S\times \mathfrak n\) des induzierten Linksideals \(\mathfrak R_{\mathfrak g}\times \mathfrak n\) definierte Darstellung von \(\mathfrak g\) aus genau \(g\) irreduziblen Bestandteilen, die äquivalent zu \(\mathfrak D\) sind. Der Beweis verläuft ähnlich wie der von H. Weyl in “Gruppentheorie und Quantenmechanik” (1928; F. d. M. 54, 954 (JFM 54.0954.*)) für endliche Gruppen geführte. (IV 7.)

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