×

zbMATH — the first resource for mathematics

The Fourier coefficients of the modular invariant \(J(\tau)\). (English) JFM 64.0122.01
Für die Fourierkoeffizienten von Modulformen positiver Dimension hat Verf. in einer früheren (gemeinsam mit H. S. Zuckermann verfaßten) Arbeit mit Hardy-Littlewoodschen Methoden exakte Formeln hergeleitet (vgl. vorstehendes Referat). Jetzt beweist er unter Benutzung einer Methode von Kloosterman für die Fourierkoeffizienten \(c_n\) (\(n\geqq 1\)) der Modulfunktion (Modulform der Dimension Null) \[ J(\tau)= \frac{g_2^3(1,\tau)}{g_2^3(1,\tau)-27g_3^2(1,\tau)} = \frac 1{12} \left[e^{-2\pi i \tau}+c_0+\sum_{n=1}^\infty c_ne^{2\pi i n\tau}\right] \] folgende Formel: \[ c_n=\frac{2\pi}{\sqrt n} \sum_{k=1}^\infty \frac{A_k(n)}k I_1\left(\frac {4\pi\sqrt n}k\right), \] wo \[ A_k(n) =\sum_{_{\substack{ h\text{mod}k \\ (h,k)=1}}} e^{-\tfrac{2\pi i}k(nh+h')}, \quad hh'\equiv -1 \pmod k, \] und \(I\) die Besselsche Funktion erster Art darstellt. (IV 6 C.)

PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI