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An extension of Schwarz’s lemma. (English) JFM 64.0315.04
Nach Pick kann man das Schwarzsche Lemma so formulieren: \(ds\leqq d\sigma\), wo \(d\sigma\) die kreisgeometrische Länge eines Bogenelementes aus dem Einheitskreis ist, \(ds\) die ebenso gemessene Länge seines Bildes vermöge irgendeiner Funktion \(f (z)\) mit \(|f(z)|\leqq1\) in \(|z| < 1\). Verf. zeigt zunächst, daß die Aussage des Satzes richtig bleibt, wenn das Bild einer Riemannschen Fläche angehört, auf der eine Metrik mit einer Gaußschen Krümmung \(\leqq - 4\) gegeben ist; \(ds\) bedeutet dann die Länge des Bildelementes in dieser Metrik. Für diese werden zunächst gewisse Regularitätsvoraussetzungen gemacht, deren teilweise Beseitigung für manche Anwendungen wichtig ist, da man dann die Metrik “zusammenstücken” kann. So ergibt sich ein elementarer Beweis für den Schottkyschen Satz mit der Abschätzung: \[ \log |f(z)|<\frac{1+\theta}{1-\theta}\big(7+\overset{+}\log\,|f(0)|\big) \] bei \(|z|\leqq\theta<1\). Die Größenordnung der Schranke ist dabei dieselbe, wie bei Pfluger (Comment. math. Helvetici 7 (1935), 159-170; F. d. M. \(61_{\text{I}}\), 355). Ferner ergibt sich ein neuer Beweis des Blochschen Satzes mit der seither besten Abschätzung der Blochschen Konstanten nach unten: \(\mathfrak B\geqq\dfrac{\sqrt3}4> 0,433\), ebenso für die von Landau mit \(\mathfrak L\) bezeichnete verwandte Konstante (vgl. Landau, Math. Z. 30 (1929), 608-634; F. d. M. \(55_{\text{II}}\), 770): \(\mathfrak L\geqq\frac12\); damit ist auch wegen \(\mathfrak B< 0,472\) (Ahlfors, Grunsky, Math. Z. 42 (1937), 671-673; F. d. M. \(63_{\text{I}}\), 300) \(\mathfrak L>\mathfrak B\) bewiesen.

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