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Sur une extension de la formule de Taylor. (French) JFM 64.0405.03

In einer Klasse \(A\) von Funktionen einer reellen Veränderlichen \(x\) sei ein linearer Operator \(\mathfrak{d}_x [f(\xi)]\) erklärt. Dieser besitze ein kontinuierliches Spektrum \(S\); das soll heißen, es gebe eine in der Umgebung des Nullpunktes der komplexen \(\lambda\)-Ebene für alle \(x\) konvergente Reihe \[ j_{\lambda}(x)=\sum_{\nu=0}^{\infty} \varphi_{\nu} (x) \, \lambda^{\nu}, \] deren Koeffizienten \(\varphi_{\nu} (x)\) der Klasse \(A\) angehören, mit \(\varphi_{\nu} (0)=1\), \(\varphi_{\nu} (0)=0\) \((\nu > 0)\), derart, daß \[ \mathfrak{d}_x [j_{\lambda}(x)] = \lambda j_{\lambda}(x) \] ist. Z. B. \(A\) die Klasse aller einmal differenzierbaren Funktionen, \[ \mathfrak{d}_x = \frac{d}{dx}; \quad j_{\lambda}(x)=e^{\lambda x}, \quad \; \varphi_{\nu} (x) = \frac{x^{\nu}}{\nu!}. \]
Jetzt wird der Operator \(T^y\) durch \[ T^y=\varphi_0(y) \,E + \varphi_1(y) \, \mathfrak{d} + \cdots + \varphi_n(y) \, \mathfrak{d}^{(n)} + \ldots \] erklärt, wo \(\mathfrak{d}^{(n)}\) die \(n\)-fache Wiederholung von \(\mathfrak{d}\) bedeutet. Setzt man in \(T^y\) eine Funktion \(f(x)\) der Klasse \(A\) ein, so wird, soweit Konvergenz vorhanden, \[ T_x^y[f(\xi)]=\varPhi(x, \,y) \] eine Funktion von \(x\) und \(y\) mit \(\varPhi(x, \,0) = f(x)\). Verf. zeigt, daß diese der Gleichung \[ \mathfrak{d}_y[\varPhi(x, \, \eta)] = \mathfrak{d}_x[\varPhi(\xi, \,y)] \tag{1} \] genügt. Für den Operator \(\mathfrak{d}\) wird jetzt weiter verlangt, daß Gleichung (1) nur eine Lösung \(\varPhi\) mit \(\varPhi(x, \,0) = f(x)\) besitzt. Durch diese ist also der Operator \(T^y\) fortgesetzt. Für das Beispiel \(\mathfrak{d}_x = \dfrac{d}{dx}\) wird \(\varPhi(x, \,y)=f(x+y)\). Bezeichnet man die Lösung von \[ \mathfrak{d}_y[\varPhi(x, \, \eta)] - \mathfrak{d}_x[\varPhi(\xi, \,y)] = f(x, \,y), \] die für \(y=0\) identisch verschwindet, mit \[ \mathfrak{i}_{xy}[f(\xi, \, \eta)], \] falls sie existiert, so gilt: \[ T_x^y[f(\xi)] = \sum_{p=0}^{n} \varphi_p(y) \, \mathfrak{d}_x^{(p)} [f(\xi)] + \mathfrak{i}_{xy} \left\{ \varphi_n(\eta) \mathfrak{d}_{\xi}^{(n+1)} [f(\zeta)] \right\}. \] Dies kann als Verallgemeinerung der Taylorschen Formel angesprochen werden. Im Beispiel \(\mathfrak{d}_x = \dfrac{d}{dx}\) erhält man nämlich: \[ f(x+y)=\sum_{p=0}^{n} \frac{y^p}{p!} \, \frac{d^p \,f(x)}{dx^p} + \int\limits_{0}^{y} f^{(n+1)} (x+y-u) \frac{u^n}{n!} \,du. \] Weiter sei der zu \(T\) transponierte Operator \[ {\tilde T}_x^y [f(\xi)] = \sum_{0}^{\infty} \varphi_n(x) \, \mathfrak{d}_y^{(n)} \, f(\xi). \] Eine Familie \(T^y\) heißt “abelsche Familie”, wenn sie den Bedingungen \[ T^0=E, \;\; T^y \,T^z=T^z \,T^y, \;\; T^y \, {\tilde T}^z={\tilde T}^z \,T^y \] genügt. Ein linearer Operator heißt der Familie zugeordnet, wenn für jedes \(y\) \[ {\tilde T}^y \, \varDelta = \varDelta \, {\tilde T}^y \] gilt. Jedes solche \(\varDelta\) ist von der Form \[ \varDelta_y [f(\xi)] = \varDelta_0 \, \left\{ T_y^{\xi} [f(\eta)] \right\}, \] wo \(\varDelta_0\) irgendein lineares Funktional bedeutet. \(f(x)\) heißt in bezug auf den Operator \(\varDelta\) mittelperiodisch, wenn \[ \varDelta_x [f(\xi)] \equiv 0 \] gilt. Hat \[ A(\lambda) = \varDelta_0 [j_{\lambda} (\xi)] \] die Nullstellen \(\lambda_1, \, \lambda_2, \ldots\), so sind die Funktionen \(j_{\lambda_r} (x)\) mittelperiodisch in bezug auf \(\varDelta\), welches der Familie zugeordnet ist. Ist \(\varDelta\) derart beschaffen, daß \(A(\lambda)\) in der Umgebung des Nullpunktes regulär ist, so definiert \[ \frac{j_{\lambda} (x)}{A(\lambda)} = \sum_{n=0}^{\infty} B_n(x) \, \lambda^n \] die Funktionen \(B_n(x)\) als Linearkombinationen der \(\varphi_n(x)\). Es gilt: \[ \varDelta_x [B_n(x)]= \varphi_n(x), \;\; \mathfrak{d}_x [B_0(\xi)]=0, \;\; \mathfrak{d}_x [B_n(\xi)]= B_{n-1} (x) \quad \; (n>0). \] Die \(B_n\) sind Verallgemeinerungen der Bernoullischen Polynome. Mit ihrer Hilfe stellt Verf. eine Verallgemeinerung der Euler-MacLaurinschen Summenformel auf. (IV 3 D, 8 A.)

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