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Sur un nouveau théorème-limite de la théorie des probabilités. (French) JFM 64.0529.01
Actual. sci. industr. 736, 5-23. (Confér. internat. Sci. math. Univ. Genève. Théorie des probabilités. III: Les sommes et les fonctions de variables aléatoires.) (1938).
Die stochastischen Veränderlichen \(Z_1, \,Z_2, \ldots\) mögen alle die gleiche Verteilungsfunktion \(V(x)\) mit dem Mittelwert \(m=0\) und der Streuung \(\sigma\) besitzen; ferner gelte für \(V(x)\) die
Bedingung \(A\): Es gibt eine Zahl \(A > 0\), derart, daß das Integral \[ R=\int\limits_{-\infty}^{+\infty} e^{hy} \,dV(y) \] für \(|\, h \,| < A\) konvergiert.
\(F_n(x)\) sei die Verteilung der Variablen \(\dfrac{1}{\sigma \sqrt{n}} (Z_1+ \cdots +Z_n)\). Durch Überstreichen seien die entsprechenden Größen gekennzeichnet, die sich auf die Verteilung \[ \overline{V}(x)=\frac{1}{R} \int\limits_{-\infty}^{x} e^{hy} \,dV(y) \] beziehen. Es gilt \[ F_n(x)=R^n \,e^{-h \overline{m} n} \int\limits_{-\infty}^{\frac{\sigma x- \overline{m} \sqrt{n}}{\overline{\sigma}}} e^{-h \overline{\sigma} \sqrt{n} \,y} \,d \overline{F}_n(y). \]
Wendet man hier auf \(\overline{F}_n(y)\) den Laplace-Liapounoffschen Grenzübergang an, so findet man folgendes
Theorem 1: \(x\) sei eine eventuell von \(n\) abhängende reelle Zahl mit \[ x>1 \quad \text{und} \quad x=o \left( \frac{\sqrt{n}}{\log \,n} \right). \]
Dann gilt \[ \frac{1- F_n(x)}{1-\varPhi(x)} = e^{\frac{x^3}{\sqrt{n}} \lambda \left( \frac{x}{\sqrt{n}} \right)} \, \left[ 1+ O \left( \frac{x \, \log \,n}{\sqrt{n}} \right) \right] \] und \[ \frac{F_n(-x)}{\varPhi(-x)} = e^{-\frac{x^3}{\sqrt{n}} \lambda \left( -\frac{x}{\sqrt{n}} \right)} \, \left[ 1+ O \left( \frac{x \, \log \,n}{\sqrt{n}} \right) \right]; \] dabei ist \(\varPhi(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int\limits_{-\infty}^{x} e^{-\frac{t^2}{2}} \,dt\) und \(\lambda(z)\) eine angebbare Potenzreihe, die für genügend kleine \(|\, z \,|\) konvergiert.
Unter der Beschränkung \(x=O(n^{{}^1/{}_6})\) läßt sich die Aussage verschärfen.
Interessant ist die folgende Verallgemeinerung eines Satzes von Khintchine:
Theorem 4: \(c\) sei eine positive Konstante. Bei Gültigkeit der Bedingung \(A\) streben die Ausdrücke \[ \frac{F_n \left( x+\dfrac{c}{x} \right) - F_n(x)}{1-F_n(x)} \; \text{ und } \; \frac{\varPhi \left( x+\dfrac{c}{x} \right) - \varPhi(x)}{1-\varPhi(x)} \] für \(n \to \infty\), \(x \to \infty\), \(x=O \left( \dfrac{\sqrt{n}}{\log \,n} \right)\) gegen die gleiche Grenze \(1-e^{-c}\).
Eine weitere Zusatzvoraussetzung \(B\) gestattet die Streichung des Faktors \(\log \,n\) in den angeführten Sätzen. – Den Schluß der Arbeit bildet ein analoges Resultat für homogene stochastische Prozesse.