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Erweiterung einer stetigen Abbildung. (German) JFM 64.0621.03
Eine stetige Abbildung der im metrischen Raum \(E\) abgeschlossenen Menge \(F\) auf einen metrischen Raum \(\bar F\) läßt sich zu einer stetigen Abbildung \(f\) von \(E\) auf einen geeigneten metrischen Raum \(\bar E \supset \bar F\) erweitern. Diese Abbildung ist insbesondere so möglich, daß \(\bar F\) in \(\bar E\) abgeschlossen ist und \(E-F\) topologisch auf \(\bar E - \bar F\) abgebildet wird. Eine topologische Abbildung von \(F\) läßt sich zu einer topologischen Abbildung von \(E\) erweitern (vgl. Hausdorff, Fundam. Math. 16 (1930), 353–360; JFM 56.0508.03). Kompaktheits- und Separabilitätseigenschaften werden dabei nicht vorausgesetzt. Der Beweis beruht auf folgender Bemerkung: Bei einer stetigen Abbildung eines metrischen Raumes \(E\) auf einen eben solchen \(\bar E\) gilt für die Entfernung \(\overline{uv}\) der Bilder zweier Elemente \(u\), \(v\) von \(E\): (1) \(\overline{uv} = \overline{vu}\geqq0\), \(\overline{uu}=0\). (2) \(\overline{uv} + \overline{vw}\geqq\overline{uw}\). (3) Aus \(v\to u\) (\(u\) fest) folgt \(\overline{uv}\to 0\). Umgekehrt, ist in \(E\times E\) eine Funktion \(\varrho(u, v)\) erklärt mit diesen drei Eigenschaften, so ist dadurch eine stetige Abbildung von \(E\) erklärt: Als Elemente des Bildraumes \(\bar{E}\) nimmt man die disjunkten Klassen der Elemente von \(E\), innerhalb welcher \(\varrho(u', u'') = 0\), als Abstand in \(\bar E\) dann \(\varrho(u, v)\). Das Erweiterungsproblem wird damit auf ein solches, aber einfacheres für reelle Funktionen zurückgeführt.

MSC:
54C20 Extension of maps
54E40 Special maps on metric spaces
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Full Text: DOI EuDML