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Über allgemeine \(O\)-Umkehrsätze. (Croatian) JFM 64.1004.01

Rad. Jugoslav. Akad. 261, 1-22. Deutscher Auszug in: Bull. internat. Acad. Yougoslave Sci. Beaux-Arts, Cl. Sci. math. natur. 32 (1939), 1-9 (1939).
In einer vorangehenden Abhandlung (Abh. math. Sem. Hansische Univ. 12 (1937), 48-63; JFM 63.0171.*) hatte Verf. einen sehr allgemeinen \(O\)-Umkehrsatz bewiesen. Die dabei benutzte Konvergenzbedingung (KB) war noch eine “zweiseitige”, d.h. sie bezog sich auf Voraussetzungen über \(|s(t') - s(t)|\). Es lag die Frage nahe, ob auch der entsprechende “einseitige” Satz gilt, bei dem in der Voraussetzung die Absolutzeichen bei \(s(t') - s (t)\) fortgelassen werden. In der vorliegenden Abhandlung gelingt es, dies zu beweisen. Der dadurch gewonnene Satz lautet:
(1) Es sei \(\varPsi\) das durch \(\varPsi(x) = \int\limits_0^\infty \psi(x,t)s(t)\,dt\), (\(x \to \infty\)), erklärte Limitierungsverfahren, das die Bedingungen \(\psi(x,t) \geqq 0\) und \(\varphi(x,t) = \int\limits_t^\infty \psi(x,u)\,du \to 1\) für jedes \(t \geqq 0\) bei \(x \to \infty\) erfüllt. (2) Es sei \(V(x)\) mit \(x \geqq 0\) monoton gegen \(+\infty\) wachsend und differenzierbar, und es sei \(\varLambda(x)\) invers zu \(V(x)\). (3) Es sei \(y=y(x)\) mit \(x \geqq 0\) monoton gegen \(+\infty\) wachsend und so beschaffen, daß \[ \int\limits_0^x \psi(x,t) \left|\log \frac{\varLambda(t)}{\varLambda(y)}\right|\,dt=O(1) \quad \text{für} \quad x,y \to \infty \tag{a} \] und daß dies sogar für zwei solche Funktionen \(y_1\) und \(y_2\) erfüllt ist, für die \(\varphi(x,y_1) < c_1 < c_2 < \varphi(x,y_2)\) bleibt, daß (b) für \(x,y>c>0\) die Ableitung \(-\dfrac{\partial }{\partial t}\varphi(x,V(yt))<F(t)\) bleibt, wo \(F(t)\log t\) über \(0 \ldots \infty\) integrierter ist, und daß (c) diese Ableitung für \(x, y \to + \infty\) gegen eine Funktion \(N(t)\) strebt, für die \(\int\limits_0^\infty N(t)t^{ui}\,dt \neq 0\) ist für jedes reelle \(u\). Aus \[ \int\limits_0^\infty \psi(x,t)s(t)\,dt \to s \cdot \int\limits_0^\infty N (t)\,dt \quad \text{für} \quad x \to \infty \] und der KB \[ \liminf_{t\to \infty}\{\min (s (t') - s (t))\} = - w(\lambda) \to 0 \quad \text{für} \quad 1<\lambda \to 1, \] bei der sich min auf alle \(t'\) mit \(t \leqq t' \leqq T = V(\lambda\varLambda(t))\) bezieht, folgt dann \(s(t) \to s\) für \(t \to \infty\).
Der Beweis folgt methodisch genau dem des “zweiseitigen” Satzes. Um den Satz auf besondere Verfahren anzuwenden, sind noch “technische” Schwierigkeiten zu überwinden, die z. T. beträchtlich sind. Verf. skizziert die Einzelheiten der Durchführung für das Borelsche Limitierungsverfahren \(e^{-x}\sum\limits_{\nu=0}^\infty s_\nu \dfrac{x^\nu}{\nu!} \to s\) für \(x\to \infty\) und beweist so den einseitigen Umkehrsatz für dieses Verfahren unter der KB \[ \liminf_{n\to \infty}\{\min_{n\leqq n'\leqq n+\varepsilon \sqrt n}(s_{n'}-s_n)\} = - w(\varepsilon)\to 0 \quad \text{für} \quad \varepsilon \to 0. \]

Citations:

JFM 63.0171.*