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Die Momente einer Gruppe von Wahrscheinlichkeitsfunktionen und ihre Beziehungen zu den linearen Differentialgleichungen zweiter Ordnung, den Gleichungen von Laplace, den algebraischen Kettenbrüchen und den Summen divergenter Reihen. (Spanish) JFM 64.1085.04
An. Soc. ci. Argentina 125, 81-111 (1938).
Die Pearsonschen Verteilungsfunktionen \(\varphi (x)\) sind definiert durch \[ \varphi '(x) = \frac {a_0+a_1x}{b_0+b_1x+b_2x^2} \equiv \frac {t(x)}{p(x)}. \] Die durch \[ \frac {d^n}{dx^n}= (\varphi (x)\,p^n(x)) = \varphi (x)\,\mathfrak X_n(x)\tag{1} \] erklärten Polynome \(n\)-ten Grades \(\mathfrak X_n(x)\) genügen den Orthogonalitätsbeziehungen \[ \int\limits _a^b \varphi (x)\,\mathfrak X_m(x)\,\mathfrak X_n(x)\,dx=0,\qquad m\neq n, \] worin \(a\), \(b\) die Nullstellen von \(p(x)\) bezeichnen. Sie genügen der Differentialgleichung \[ p(x)\,y^{\prime\prime } +(p'(x) +t(x))\,y' - n\Bigl(t'(x)+\frac {n+1}{2} p^{\prime\prime }(x)\Bigr)\,y=0.\tag{2} \] Es ordnen sich die bekannten Orthogonalpolynome von Laguerre, Hermite, Jacobi usw. ein. Schreibt man auf Grund der Cauchyschen Integralformel (1) in der Form \[ \mathfrak X_n (x)=\frac {n!}{2\pi i\,\varphi (x)}\,\oint \frac {\varphi (z)\,p^n(z)}{(z-x)^{n+1}}\,dz, \] so gelangt man zu Integraldarstellungen der Lösungen von (2), die z. B. das Schläflische Integral für Besselfunktionen umfassen. Zum Schluß Bemerkungen über den Zusammenhang der \(C\)- und \(B\)-Limitierung mit der Laplaceschen Transformation.