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Leçons sur la théorie des spineurs. I: Les spineurs de l’espace à trois dimensions. II: Les spineurs de l’espace à \(n > 3\) dimensions. Les spineurs en géométrie riemannienne. D’après des notes recueillies et rédigées par A. Mercier. (French) JFM 64.1382.04
Actual. sci. industr. 643, 98 p.; 701, 91 p (1938).
Die für die Theorie notwendigen Grundlagen werden in den beiden ersten Abschnitten des ersten Bandes ausführlich dargelegt: Euklidischer und pseudoeuklidischer \(n\)-dimensionaler Raum, Vektorbegriff, Reduktion der quadratischen Fundamentalform, Drehungen und Umlegungen und ihre Zerlegung in Spiegelungen (Kontinuitätsuntersuchungen der Gruppen), \(p\)-Vektoren, Darstellung der Gruppen, Tensorbegriff (Äquivalenz, Irreduzibilität und Reduzibilität), Matrizen und schließlich Reduzibilität der \(p\)-Vektoren bezüglich der Drehungsgruppe für \(n = 2p\). Dabei wird, abweichend von dem gewöhnlichen Standpunkt, der den affinen Charakter der Tensoren betont, der euklidische Tensor mit Hilfe der Darstellung der Drehungsgruppe eingeführt.
Einer der Hauptgesichtspunkte dieses Buches ist die Entwicklung der Spinorentheorie auf geometrischer Grundlage. So ergeben sich z. B. die in der Quantenmechanik verwendeten Matrizen von selbst. In ihrer allgemeinsten mathematischen Form hat Verf. 1913 bei der Untersuchung der Darstellungen einfacher Gruppen die Spinoren eingeführt. (É. Cartan, Bull. Soc. math. France 41 (1913), 53-96; F. d. M. 44, 170). Im dritten und vierten Abschnitt des ersten Bandes wird der Fall \(n = 3\), im zweiten Band \(n > 3\) behandelt.
Die isotropen Vektoren \(\mathfrak{x}\) gestatten in einem orthogonalen Bezugssystem eine Parameterdarstellung \[ x^1=\xi_0^2-\xi_1^2, \quad x^2=i(\xi_0^2+\xi_1^2), \quad x^3=-2\xi_0 \, \xi_1 \] mit der Eigenschaft, daß bei einer orthogonalen Transformation die dem transformierten Vektor \(\mathfrak{x}'\) zugeordneten Parameter \((\xi_0^{\prime}, \, \xi_1^{\prime})\) linear von \((\xi_0, \, \xi_1)\) abhängen. Das System der beiden Größen \((\xi_0, \, \xi_1)\) heißt ein Spinor \(\xi\). (Man kann in gewissem Sinne den Übergang zum Spinor als eine Polarisation des isotropen Vektors auffassen.) Die Gleichungen der isotropen Geraden, welche ein einem Spinor zugeordneter isotroper Vektor aufspannt, führen dazu einem beliebigen Vektor \(\mathfrak{x}\) eine Matrix \(X=\begin{pmatrix} \l&\quad\r\\ x^3 & x^1-ix^2\\ x^1+ix^2 & -x^3 \end{pmatrix}\) zuzuordnen. Die Zuordnung höherer Stufen wird auf die Beziehung \(\mathfrak{x} \to X\) zurückgeführt. Ist \(\mathfrak{a}\) ein Einheitsvektor, so entsprechen der Spiegelung an der zu \(\mathfrak{a}\) senkrechten Ebene die Operationen \(X' = - AXA\) und \(\xi'=A \xi\) oder \(\xi'=-A \xi\). Das Produkt zweier Spinoren wird in irreduzible Bestandteile zerlegt. Der Abschnitt schließt mit einigen Bemerkungen über den reellen und den pseudoeuklidischen Fall.
Es wird eine einfache Methode angegeben, in einem komplexen oder reellen \(E_3\) eine unbegrenzte Folge von irreduziblen Darstellungen der Drehungsgruppe oder der erweiterten Drehungsgruppe zu konstruieren. Die Transformation der Produkte \(p\)-ten Grades \(\xi_0^{\alpha} \xi_1^{\beta}\) \((\alpha+\beta=p)\) führt zu einer solchen Darstellung \(\mathfrak{D}_{\frac{p}{2}}^{+}\). Man kann den die Darstellung erzeugenden Tensor symbolisch durch das erzeugende Polynom \((a \xi_0+b \xi_1)^p\) beschreiben. Eine andere Darstellung \(\mathfrak{D}_{\frac{p}{2}}^{-}\) mit dem erzeugenden Polynom \((\xi_0 \xi_1^{\prime}-\xi_1 \xi_0^{\prime})(a \xi_0+b \xi_1)^p\) geht von den gleichen Produkten aus, aber da \((\xi_0 \xi_1^{\prime}-\xi_1 \xi_0^{\prime})\) einem Trivektor äquivalent ist, werden bei Umlegung die Vorzeichen geändert. Das Produkt \(\mathfrak{D}_{\frac{p}{2}}^{+} \times \mathfrak{D}_{\frac{q}{2}}^{+}\) ist vollständig reduzibel und setzt sich aus den irreduziblen Darstellungen \(\mathfrak{D}_{\frac{p+q}{2}}^{+}\), \(\mathfrak{D}_{\frac{p+q}{2}-1}^{-}\), \(\mathfrak{D}_{\frac{p+q}{2}-2}^{+}, \ldots \!, \mathfrak{D}_{\frac{p-q}{2}}^{\pm}\) (für \(p \geqq q\)) zusammen. (Einige Beispiele.) Die Frage nach allen linearen Darstellungen der Drehungsgruppe wird mit der Methode der infinitesimalen Transformationen behandelt. Es wird gezeigt, daß es bis auf Äquivalenz höchstens eine irreduzible Darstellung gegebenen Grades gibt, die also mit der schon angegebenen übereinstimmen muß. Jede beliebige (analytische, wenn es sich um die komplexe Gruppe handelt) Darstellung der Drehungsgruppe ist vollständig reduzibel. Für den komplexen Fall wird der Satz bewiesen, daß jeder irreduzible Tensor Dieser Gruppe einem Tensor mit dem erzeugenden Polynom \((a \xi_0+b \xi_1)^p (c \overline{\xi}_0+d \overline{\xi}_1)^q\) äquivalent ist. \((\overline{\xi}_0, \, \overline{\xi}_1)\) ist der konjugierte Spinor. Nach einem Abschnitt über Ein- und Zweideutigkeit der Darstellungen schließt der erste Band mit der Bestimmung der Darstellungen weiterer Gruppen (z. B. Drehungen und Spiegelungen im reellen Raum usw.), die aus zwei kontinuierlichen Scharen \(G + G'\) gebildet werden, deren erste eine kontinuierliche Gruppe ist.
Im Falle \(n > 3\) werden die Räume \(E_{2\nu+1}\) und \(E_{2\nu}\) getrennt behandelt. Die Einführung der Spinoren geschieht mittels der \(\nu\)-dimensionalen isotropen Ebene.
1) \(n = 2\nu + 1\). Die kartesischen Koordinaten sind so zu wählen, daß die Fundamentalform die Gestalt \(F \equiv (x^0)^2+x^1x^{1^{\prime}} + \cdots + x^{\nu}x^{\nu^{\prime}}\) annimmt. Seien \[ \eta_0 \equiv \xi_0 x^0+\xi_1 x^1+ \cdots +\xi_{\nu} x^{\nu}, \quad \eta_i \equiv \xi_0 x^{i^{\prime}} - \xi_i x^0 + \sum_k \xi_{ik} x^k=0 \]
\[ (\xi_{ij}=-\xi_{ji}) \] die definierenden Gleichungen der isotropen Ebene \((\xi_0 \neq 0)\). Sie werden ergänzt durch weitere abhängige Gleichungen: \[ \eta_{i_1 \cdots i_p} \equiv \sum_{k=1}^{p} (-1)^{p-k} \xi_{i_1 \cdots i_{k-1} i_{k+1} \cdots i_p} x^{i_k^{\prime}} + (-1)^p \xi_{i_1 \cdots i_p} \,x^0 + \sum_{m=1}^{\nu} \xi_{i_1 \cdots i_{p^m}} x^m=0, \] wobei sich die Parameter \(\xi_{\alpha}\) \((\alpha=0, \,i, \,ij, \,ijk, \ldots)\) durch Rekursionsformeln
a) \(\xi_0 \xi_{i_1 \cdots i_p} =\sum\limits_{k=1}^{p-1} (-1)^{k-1} \xi_{i_k i_p} \xi_{i_1 \cdots i_{k-1} i_{k+1} \cdots i_{p-1}} \quad\) für gerades \(p\),
b) \(\xi_0 \xi_{i_1 \cdots i_p} =\sum\limits_{k=1}^{p} (-1)^{k-1} \xi_{i_k} \xi_{i_1 \cdots i_{k-1} i_{k+1} \cdots i_p} \quad\) für ungerades \(p\)
aus \(\xi_0\), \(\xi_i\), \(\xi_{ij}\) aufbauen. Spinor \(\xi\) heißt nun jedes solches System von \(2^{\nu}\) Größen \(\xi_{\alpha}\) (das nicht notwendig durch die Relationen a), b) gebunden zu sein braucht). Aus der Matrizenschreibweise der Gleichungen \(\eta_{\alpha}=0\) folgt für jeden Vektor \(\mathfrak{x}\) die Zuordnung einer Matrix \(X\) vom Grade \(2^{\nu}\). Wie im \(E_3\) wird eine Spiegelung durch \(X' = - AXA\) beschrieben und man definiert die entsprechende Spinortransformation durch \(\xi'=A \xi\) oder \(\xi'=-A \xi\). Ein Spinor heißt einfach, wenn das System \(X \xi = 0\) den Rang \((\nu + 1)\) hat. Im Spinorraum wird eine Polarität erklärt und die Reduktion des Tensors \(\xi_{\alpha} \xi_{\beta}^{\prime}\) durchgeführt. Jeder einfache Spinor kann in bestimmter Weise als polarisierter isotroper \(\nu\)-Vektor aufgefaßt und jeder allgemeine Spinor als Summe einfacher Spinoren gedeutet werden. Betrachtungen über den Schnitt isotroper \(\nu\)-Ebenen, über den reelleuklidischen und den pseudoeuklidischen Raum schließen den Abschnitt ab.
2) \(n = 2\nu\). Man gelangt von \(E_{2\nu+1}\) zu \(E_{2\nu}\) durch die Bedingung \(x^0 = 0\). Jede isotrope \(\nu\)-Ebene des \(E_{2\nu}\) kann im \(E_{2\nu+1}\) als zur \(x^0\)-Richtung senkrecht aufgefaßt werden, und damit sind alle Komponenten eines Spinors mit ungerader (gerader) Anzahl von Indizes Null (Halbspinoren 1. und 2. Art). Wegen der daraus folgenden speziellen Gestalt der zugeordneten Matrizen lassen sich einer Spiegelung zwei verschiedene Spinortransformationen zuordnen: \(\xi'=\pm A \xi\) und \(\xi'=\pm AK \xi\) (mit einer speziellen Matrix \(K\)). Zerlegungssätze folgen, und es werden die für die Geometrie interessanten Spezialfälle \(\nu = 3\) und \(\nu = 4\) behandelt. (Parallelismus im \(E_8\); Formel von Brioschi usw.).
Die Spinoren und ihre Eigenschaften im Raum der speziellen Relativitätstheorie lassen sich aus der bisher entwickelten Theorie durch die Spezialisierung \(\nu=2\) erhalten. Die Diracschen Gleichungen ergeben sich, wenn man auf einen Spinor mit vier Wellenfunktionen als Komponenten eine Operatorenmatrix wirken läßt, die sich bis auf skalare Faktoren aus den dem Gradienten und dem Potentialvektor zugeordneten Matrizen und der schon erwähnten Matrix \(K\) zusammensetzt. Die Darstellungen der Lorentzgruppe werden ebenfalls durch die spezielle Anwendung der allgemeinen Entwicklungen gegeben.
Eine Ausdehnung auf den Riemannschen Raum stößt auf Schwierigkeiten, wenn man den klassischen Kalkül benutzen will, da die gewöhnlichen Vektoren und Tensoren im Grunde affine Größen sind, während die Spinoren nur einen metrischen Charakter besitzen. Es wird daher jeder Raumpunkt mit je einem kartesischen Bezugssystem ausgestattet, die vom metrischen Standpunkt untereinander gleich sind, d. h. in denen die Fundamentalform die gleiche Gestalt erhält. Dann lassen sich Spinorfelder in dem angegebenen geometrischen Sinn und ein absolutes Differential einführen. (III 5 A.)