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A differential equation for orthogonal polynomials. (English) JFM 65.0285.03
Verf. betrachtet Systeme von Orthogonalpolynomen \[ 1, \, \varphi_1, \,\varphi_2, \ldots \!, \varphi_n, \ldots \qquad (n=0, \,1, \,2, \ldots) \] die einer Differentialgleichung \[ A_n(x) \,\varphi_n^{\prime \prime}(x)+B_n(x) \,\varphi_n^{\prime}(x) + C_n(x) \,\varphi_n(x)=0 \] mit Polynomialkoeffizienten fester Grade genügen. Er konstruiert solche Gleichungen auf recht einfache Weise für Polynomsysteme, deren Belegungsfunktion \(p(x)\) einer Differentialgleichung \((A(x) \,p(x))'=B(x) \,p(x)\) (\(A\), \(B\) Polynome) genügt, und behandelt im Anschluß daran einige nichtklassische Systeme der genannten Art. Weiterhin werden die Ergebnisse zum Beweis einiger Entwicklungssätze benutzt, z. B. folgt ziemlich leicht, daß die Entwicklung von \(f(x)\) (das einer Lipschitzbedingung genügen muß) nach den zu \(e^{-hx} (1-x)^{\alpha-1} (1+x)^{\beta-1}\) gehörenden Orthogonalpolynomen in jedem ganz in \(-1\), \(+1\) gelegenen Intervall gleichmäßig konvergiert. – Den Abschluß bilden einige Abschätzungen für die Koeffizienten \(H_{in}\) in der Gaußschen Quadraturformel \[ \int\limits_{a}^{b} p(x) \,f(x)=\sum_{i=1}^{n} H_{in} f(x_{i,n}), \] wobei die Abszissen die Nullstellen der klassischen Orthogonalpolynome sind.

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