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The existence of minimal surfaces of general critical types. (English) JFM 65.0456.04
Gefragt ist nach einfach zusammenhängenden Minimalflächen, die von einer gegebenen rektifizierbaren einfach geschlossenen Raumkurve begrenzt werden. Eine solche Fläche ist bestimmt durch die Abbildung auf die Kreislinie, die die Randkurve erfährt, wenn die Fläche konform auf die Kreisfläche abgebildet wird. Eine beliebige stetige, im allgemeinen (genauere Erklärung im Text) eineindeutige Abbildung \(\varphi\) der Kreislinie auf die gegebene Randkurve bestimmt eine “harmonische” Fläche, deren Inhalt durch ein doppelt über die Kreislinie erstrecktes Integral \(A(\varphi)\) gegeben wird. Douglas zeigte, daß, wenn \(A(\varphi)\) ein Minimum annimmt, die harmonische Fläche eine Minimalfläche kleinsten Inhalts wird. Hier wird gezeigt, daß auf das Funktional \(A(\varphi)\) im Raume der Abbildungen \(\varphi\) die allgemeine Morsesche Theorie der kritischen Punkte (M. Morse, Functional topology and abstract variational theory, Mém. Sci. math. 92 (1938); F. d. M. \(64_{\text{II}}\)) angewandt werden kann, und daß eine Abbildung, die einen kritischen Punkt von anderem als dem Minimum-Typus liefert, zu einer Minimalfläche mit der gegebenen Randkurve führt, die kein Minimum des Flächeninhalts liefert. Bei einem einfachen Beispiel (Raumkurve, aus vier hufeisenförmigen ebenen Stücken zusammengesetzt) gibt es nun zwei Minimalflächen, die sicher nicht derselben zusammenhängenden kritischen Menge angehören. Daraus folgt die Existenz eines kritischen Punktes vom Nicht-Minimum-Typus und damit die einer ebensolchen Minimalfläche Damit ist beim Plateauschen Problem die Anwendbarkeit der Morseschen Theorie über die Frage nach dem absoluten Minimum hinaus dargetan.

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