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Sur les intégrales de Fourier absolument convergentes et leur application à une transformation fonctionnelle. (French) JFM 65.0483.02
9\(^{\text{me}}\) Congr. Math. Scand. 1938, 345-366 (1938).
\((V)\) sei die Klasse der Funktionen \(F(x)\) mit endlicher totaler Variation in \((-\infty,\infty)\) \[ V(F)= \int\limits_{-\infty}^{\infty}|dF(x)|, \] die außerdem normiert sein sollen: \(F(- \infty) = 0\), \(F(x)=\frac 12(F(x+0)+F(x-0))\). Die Integralgleichung vom “Faltungstyp”. \[ \int\limits_{-\infty}^{\infty}\varPhi(x-y)\,dF(y) = \varPsi(X), \tag{1} \] die man bei gegebenem \(F\) als eine Funktionaltransformation auffassen kann, die \(\varPhi\) in \(\varPsi\) überführt, wird, wenn es sich um Funktionen aus \((V)\) handelt, durch die Fourier-Transformation (absolut konvergentes Fourier-Integral) \[ f(t) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{itx}\,dF(x) \tag{2} \] in die algebraische Gleichung \(\varphi(t)f(t) = \psi(t)\) übergeführt. Die Lösung \(\varphi(t)=\dfrac 1{f(t)}\psi(t)\) ergibt durch Zurückübersetzung die Umkehrung der Transformation (1), falls \(\dfrac 1{f(t)}\) auch wieder ein absolut konvergentes Fourier-Integral ist. Mit dieser Frage und der Verallgemeinerung, wann \(\varphi(f)\), wo \(\varphi\) eine analytische Funktion darstellt, wieder ein absolut konvergentes Fourier-Integral ist, sowie mit Erweiterungen auf allgemeinere Klassen von Funktionen befaßt sich die Arbeit.
Jede Funktion \(F\) von \((V)\) läßt sich in bekannter Weise in eine absolut stetige Funktion \(F_1\), eine stetige Funktion \(F_2\) mit fast überall verschwindender Ableitung und eine Treppenfunktion \(F_3\) zerlegen: \((V) = (V_1) + (V_2) + (V_3)\). Dieser Zerlegung von \((V)\) entspricht eine Zerlegung der durch (2) zugeordneten Klasse \((T)\) von Funktionen \(f\): \((T) = (T_1) + (T_2) + (T_3)\). Die drei entsprechenden Teile \(f_1\), \(f_2\), \(f_3\) von \(f\) heißen der gewöhnliche, der singuläre und der fastperiodische Teil von \(f\).
Die Klasse \((V)\) wird nun zunächst durch Einführung von Gewichtsfunktionen \(p(x)\) verallgemeinert, die die Bedingungen erfüllen sollen: \[ p(x)\geqq p(0) = 1, \quad p(x+y)\leqq p(x)p(y), \quad p(\varrho x)\geqq p(x) \quad (\varrho>1). \] \((V_p)\) sei die Klasse der Funktionen \(F\), für die \[ V_p(F)\equiv \int\limits_{-\infty}^{\infty}p(x)\,|dF(x)| \] endlich ist, und \((T_p)\) die vermöge (2) zugeordnete Klasse von Funktionen \(f\). Auch hier kann man wieder die drei obigen Teile \(f_1\), \(f_2\), \(f_3\) unterscheiden. – Das Integral (2) konvergiert absolut in einem gewissen Streifen \(D_p: -\alpha \leqq \operatorname{Im} t \leqq \beta\), der zu einer Geraden einschrumpfen kann.
Die oben erwähnte Frage wird nun durch folgenden Satz (Théorème III A) beantwortet:
Es sei \(f\) eine Funktion aus einer Klasse \((T_p)\) ohne singulären Teil und \(\varphi(z)\) eine eindeutige analytische Funktion, deren Existenzbereich die abgeschlossene Hülle der von \(f\) in \(D_p\) angenommenen Werte enthält. Dann gehört auch \(g(t)= \varphi(f(t))\) zu \((T_p)\) und hat keinen singulären Teil.
Hieraus ergibt sich nun hinsichtlich der Transformation (1) der Satz (Théorème VA):
\(F\) sei eine Funktion aus \((V_p)\) ohne singulären Teil. Ist die untere Grenze von \(|f|\) auf \(D_p\) positiv \((> 0)\), so gibt es eine Funktion \(G\) vom gleichen Charakter wie \(F\), vermittels deren sich (1) so umkehren läßt: \[ \int\limits_{-\infty}^{\infty}\varPsi(x-y)\,dG(y)=\varPhi(x). \]
Diese Sätze werden weitgehend verallgemeinert und in Beziehung zu dem Tauberschen Satz (N. Wiener, Ann. Math., Princeton, (2) 33 (1932); 1-100, 787; JFM 58.0226.*, 229) gebracht, der unter gewissen Voraussetzungen von \[ \int\limits_{-\infty}^{\infty} \varPhi(x-y)K(y)\,dy \to 0 \quad \text{für} \quad x\to \infty \] auf \(\varPhi(x) \to 0\) für \(x \to \infty\) schließt.