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The general equations of biological strife in the case of historical actions. (English) JFM 65.0615.01

Die Zahlen \(N_r\) \((r = 1, \ldots \!, n)\) von \(n\) zusammenlebenden Individuengesamtheiten, die sich teilweise voneinander nähren, genügen als Funktionen der Zeit \(t\) dem Differentialsystem \[ \beta_r \frac{dN_r}{dt}=\left( \varepsilon_r \,\beta_r+ \sum_{s=1}^{\infty} a_{rs} N_s \right) \,N_r, \tag{1} \] worin die \(\varepsilon_r\) die Wachstumskoeffizienten der isolierten Gesamtheit \(N_r\), \(\beta_r\) die “Wertezahlen” oder mittleren Gewichte derselben, \(a_{rs}= -a_{sr}\) die Koeffizienten der gegenseitigen Beeinflussung bezeichnen. Verf. hat in früheren Arbeiten (vgl. Leçons sur la théorie mathématique de la lutte pour la vie (1931); F. d. M. 57\(_{\text{I}}\), 466) aus (1) die drei Gesetze 1) der Erhaltung der Fluktuationen der \(N_r\), 2) der Erhaltung der asymptotischen Mittel und 3) der Störung der Mittel bei proportionaler Reduktion der \(N_r\) aufgestellt. Hier beschäftigt er sich mit der an Stelle von (1) zu setzenden Modifikation, wenn man die Nachwirkungserscheinungen, d. h. die Tatsache, daß die Nahrungsaufnahme einer Rasse sich erst später als eine Vermehrung oder Gewichtszunahme derselben auswirkt, berücksichtigt.
An die Stelle von (1) tritt dann ein System von Integrodifferentialgleichungen der Form: \[ \frac{dN_r}{dt}=\left\{ \varepsilon_r+\sum_{s=1}^{n} \left[ A_{sr}N_s(t)+\int\limits_{0}^{t} N_s(\tau) F_{sr}(t-\tau) \,d \tau \right] \right\} \,N_r(t), \tag{2} \] das man durch schrittweise Näherung zu lösen hat. Aus (2) kann man insbesondere die Bedingungen eines stationären Zustandes ablesen \(\left( \dfrac{dN_r}{dt}=0 \right)\).

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